Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
и, следовательно, фактор-пространство порождено пятью столбиками:
СЇ)=ч(ї)-(о'ЬШ-О Q=*'(?)-(»)•
Следовательно, по модулю знаменателя формулы для Т, все пять столбиков (*) сравнимы с числовыми линейными комбинациями базисных столбиков е1=(1, 0) и е2=(0, 1). Этим доказана V- (а значит, и обычная) инфинитезимальная устойчивость сборки Уитни.
§ 7. Доказательство теоремы устойчивости
В этом параграфе доказывается устойчивость инфинитезимально устойчивого ростка отображения. Это доказательство состоит из двух частей. Во-первых, доказывается, что fc-струя инфинитезимально устойчивого ростка при достаточно больших к устойчива, т. е. что всякое достаточно близкое отображение будет иметь в подходящей близкой точке лево-право эквивалентную к-струю. Во-вторых, доказывается, что к-струя инфинитезимально устойчивого ростка при достаточно больших к достаточна. Из этих двух фактов очевидно вытекает устойчивость.
ТА. Доказательство достаточности /с-струи инфинитезимально устойчивого ростка отображения. Мы докажем следующее утверждение.
Теорема. Если росток f отображения в n-мерное пространство инфинитезимально устойчив, то он (п-\-\)-определен, т. е. его га+1 струя достаточна. Иными словами, члены степени гс+2 и выше в ряду Тейлора / в нуле можно отбросить, не нарушая дифференцируемый тип ростка.
Пример. Сборка Уитни 3-определена в соответствии с тем, что размерность пространства-образа п равна 2.
Учитывая теперь, что df[dx2 = (xv 1) мы находим § 7] доказательство теоремы устойчивости
Ю5
Введем следующие обозначения:
0 = (Ax)" — Jl .,.-модуль вариаций ростка / [(-Ax)" — это свободный модуль с п образующими е. = Ojdyi над алгеброй Ax «функций» от X1, . . ., хт; его элементы — это «столбики» (O1, . . ., an) = Ea ei
M = (dfjdxj, f.ej) — -3L .,.-подмодуль F-тривиадьных вариаций (знаменатель в формуле для T из определения F-инфинитези-мальной устойчивости).
—максимальный идеал в Ax (состоит из всех «функций», обращающихся в нуль при х = 0).
Лемма 1. Если / — инфинитезимально устойчивый росток в нуле отображения в n-мерное пространство, то все вариации достаточно высокого порядка (а именно порядка п в нуле) тривиальны'. т?0СМ.
Доказательство. Рассмотрим вектор-одночлен Xі es = = Xi1 • . . . ¦ Xi„es. Составим цепочку ев, Х.е„, х.х.ея,.. .,Xi ... Xi ег. Мы получили п-j- 1 элемент в 0. Поскольку росток / инфинитезимально устойчив и, значит, F-инфинитезимально устойчив, dim Следовательно, найдется линейная комбинация
с числовыми коэффициентами, среди которых есть ненулевые, такая, что
cOes + cIxi;sS + • ¦ • + V», • • • хіпе, 6 м¦
Пусть сг—первый ненулевой коэффициент. Вынося х. . . . х. es за скобки, получаем Xi... х.е3?М и, следовательно, х{е„^М, что и требовалось доказать.
Определение. Росток в нуле отображения в л-мерное пространство называется почти V-инфинитезимально устойчивым (ПУИУ), если условие F-инфинитезимальной устойчивости. (УИУ) выполняется с точностью до членов (п+l)-ros порядка малости.
Таким образом, условие ПУИУ состоит в существовании для любой вариации а ростка / в нуле разложения
(ПГИУ) a (X) = - -g- h (X) + J Si і*) І і (х) + 2 + г (*),
І—1
rem:+10.
Лемма 2. Если / — П ViW-росток в нуле отображения в n-мерное пространство, то все вариации порядка п в нуле тривиальны: т %$аМ. 102
ОСНОВНЫЕ понятия
[ГЛ. I
Столбики yier имеют вид
/х\ + s1s1N / о \ /хг\ /0\ Vo )' V^ + W' VO)' \xj-
Знаменатель формулы для T — это подмодуль в (-4.J2, натянутый на шесть выписанных столбиков.
Подмодуль, натянутый на пять из шести выписанных столбиков (исключая df/dx2), легко найти: он содержит
Со). (J). С), о-
и, следовательно, фактор-пространство порождено пятью столбиками:
(S)• Со). (?). О. O- W
Учитывая теперь, что дЦдх2 = {хх, 1) мы находим
©=<')-(ї)=СїЮ- 0=<.'Н1)-
Следовательно, по модулю знаменателя формулы для Т, все пять столбиков (*) сравнимы с числовыми линейными комбинациями базисных столбиков ех=(1, 0) и е2=(0, 1). Этим доказана V- (а значит, и обычная) инфинитезимальная устойчивость сборки Уитни.
§ 7. Доказательство теоремы устойчивости
В этом параграфе доказывается устойчивость инфинитезимально устойчивого ростка отображения. Это доказательство состоит из двух частей. Во-первых, доказывается, что &-струя инфинитезимально устойчивого ростка при достаточно больших к устойчива, т. е. что всякое достаточно близкое отображение будет иметь в подходящей близкой точке лево-право эквивалентную /с-струю. Во-вторых, доказывается, что А-струя инфинитезимально устойчивого ростка при достаточно больших к достаточна. Из этих двух фактов очевидно вытекает устойчивость.
7.1. Доказательство достаточности &-струи инфинитезимально устойчивого ростка отображения. Мы докажем следующее утверждение.
Теорема. Если росток f отображения в n-мерное пространство инфинитезимально устойчив, то он (п-\-\)-определен, т. е. его тг+1 струя достаточна. Иными словами, члены степени гс+2 и выше в ряду Тейлора f в нуле можно отбросить, не нарушая дифференцируемый тип ростка.
