Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пример. Деформация а^+Хж ростка г в 0 является инфинитезимально і?і-версальной, но не является ни R-, ни У-инфи-нитезимально версальной.
8.3. Теорема версальности. Для каждого из трех случаев (R-, RL- или У-эквивалентности) имеет место следующая
T е о"р еУа. Инфинитезимально версальная деформация версальна.
Пример." В качестве Д-версальной деформации ростка гладкой функции / моягао взять деформацию Fix, Х)=/(а;)+ І50 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ " [ГЛ. I
+ X1S1(X) + . . +^(г), где ростки функций ек в нуле определяют базис линейного пространства
0/==R [[X1,..., Xm\]/(df Idxv dfidxm).
В частности, деформация х3+X1X+X2 ростка ж3 в 0 й-версальна.
Так как доказательства во всех трех случаях почти одинаковые, мы рассмотрим только случай F-эквивалентности. Теорема F-версальности в аналитической ситуации принадлежит Г. Н. Тю-риной [78], рассмотревшей и более общую задачу о деформациях с негладкими базами. Приведенное ниже доказательство предложено Ж. Мартине [151]. Оно основано на следующем построении.
Пусть F — инфинитезимально F-версальная деформация ростка /, и пусть Ф — любая однопараметрическая деформация ростка F:
Ф(х, X, 0)~F(x, X), F (х, 0) = / (х),
Ф: (Rm X X R, 0) (R", 0).
Мы можем рассматривать Ф как !+!-параметрическую деформацию ростка / функции от x(]Rm с параметрами X?R', и ^R.
Лемма (о редукции). Деформация Ф ростка f V-эквивалентна индуцированной из F.
Д *о казательство леммы. Построим росток векторного поля V в точке 0 пространства (х, X, и) так, чтобы
1) y = и)±-+Н{х, X, u)JL;
2) уФ=^4Ф, где А — росток гладкой матричной функции от х, X, и.
Согласно 1) фазовые кривые такого поля трансверсальны гиперплоскости и=0 и определяют вблизи нуля гладкое расслоение m+Z+1-мерного пространства над m+Z-мерным. Это расслоение можно описать так. Сопоставим каждой точке (х, X, и) пересечение проходящей через нее фазовой кривой с плоскостью и= 0. Обозначим х- и Х-координаты этой точки пересечения через g и <р. Согласно условию 1) построенное расслоение записывается в виде (х, X, и) f-> ь> (g(x, X, и),~ср (X, и)). Из условия 2) видно, что g задает У-зкви-валентность деформации Ф и деформации, индуцированной из F при отображении ? (нужная матрица M находится интегрированием линейного ^уравнения с правой частью А вдоль фазовых кривых). »4 Sfj
Таким образом, для доказательства леммы осталось построить поле V со свойствами 1) и 2). Иными словами, нужно убедиться в разрешимости гомологического уравнения
Sh-TTb^ + Х' и) = А(х, X, и)ф(х, X, и)
относительно неизвестных Е, Н, А. ЙЁР САЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
117
Для всякой вариации а ростка / существует разложение, означающее инфинитезимальную У-версальность:
і
а. (х) = ILh(Z)-a (X) f (X) +^Fi (х) Ht ? R.
»=i
Следовательно, для всякой вариации а(х, X, и) ростка Ф существует разложение
а(х, X, ц) = Ц A(Z)_ а(ж)® +^TI +
+ [иа0(ж, X, и) + 2 Vt,-(*> ц)3-
Разложим таким же образом а0 и а; и подставим полученные выражения в эту формулу. Мы получим улучшенное разложение, в котором заключенный в квадратную скобку остаток будет уже второго порядка малости по и и X, но зато коэффициенты h (ж), а (х) и і заменятся на линейные неоднородные функции от X и от и.
Повторяя процедуру улучшения бесконечное число раз, мы получаем разложение
а (х, X, и) = -g- H (х, и) —А (х, и) Ф + ^T E (X, и) (*)
на уровне формальных рядов.
Подготовительная теорема (см. п. 6.6, стр. 101) показывает, что разложение (*) существует и в случае сходящихся рядов, и в Cco-Cлучае [применять теорему нужно к AXi х „-модулю (Ах Х п)п/{дФ/дх{, ФJSj), отображению (х, X, и) (X, и) и образующим дФ/д'кі]. Разложение (*) для а=—дФ/ди доставляет искомое решение гомологического уравнения; лемма доказана.
Доказательство теоремы. Пусть F' — (любая) деформация ростка / с параметром X' ^ R?', a F — инфинитезимально версальная деформация того же ростка с параметром X^R'. Составим «сумму», т. е. деформацию Р(х, "X, \')~F(x, X)-\-F'(x,y) — —/ (х) с Z+Z'-мерным параметром (X, X').
При Х'=0 деформация F превращается в а при X=O — в Вложение подмногообразия в базу деформации индуцирует деформацию, база которой — вложенное'подмногообразие; мы будем называть исходную деформацию (с большей базой) расширением деформации с меньшей базой. Заметим, что расширение инфинитезиліально версалъной деформации инфинитезимально версалъно (так как при расширении набор начальных скоростей только увеличивается). Рассмотрим теперь цепочку подпространств R'cR'+1C. . .cR'+r, начинающуюся с базы деформации F и кончающуюся базой деформации Р. Сужения деформации P на эти 118
ОСНОВНЫЕ понятия
[гл. i
подпространства инфинитезимально устойчивы. Последовательно применяя лемму о редукции, мы убеждаемся, что деформация P эквивалентна индуцированной из F. Но деформация F' индуцирована из Р. Поэтому деформация F' также эквивалентна индуцированной из F, на чем доказательство теоремы версальности и заканчивается.
8.4. Замечания к теореме версальности.
Замечание 1. В RL-случае вместо (*) н. 8.3 приходится искать разложение вида
