Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Мы докажем ниніе локальный вариант теоремы устойчивости.
Определение. Росток гладкого (соответственно формального, аналитического, голоморфного, . . .) отображения / в нуле называется инфинитезимально устойчивым, если гомологическое уравнение (1) относительно ростков гладких (соответственно формальных, . . .) векторных полей А и ft разрешимо при любом гладком (соответственно формальном, . . .) поле деформаций и.
Пример 1. Отображение прямой на прямую / (ж)—ж2. Гомологическое уравнение имеет вид
vt (ж) = —2жА (ж) + к (ж2).
Оно разрешимо при любом и. Следовательно, отображение инфинитезимально устойчиво. 92
основные понятия
[ГЛ. I
Пример 2. Отображение прямой на прямую / (х)=х Гомологическое уравнение имеет вид
u(x) = —3xah(x)-irk(xs).
При и=х это уравнение неразрешимо. Следовательно, отображение у=з? инфинитезимально неустойчиво (ср. рис. 1).
6.2. Гомотопический метод. Доказательство теоремы об устойчивости инфинитезимально устойчивого отображения можно проводить разными методами, обычно применяемыми для доказательств теорем типа теоремы о неявной функции. Например, можно воспользоваться методами последовательных приближений типа метода касательных Ньютона (ср. [3]). Другой метод был предложен Р. Томом и называется гомотопическим методом. Этот метод состоит в следующем. Мы хотим построить коммутативную диаграмму, превращающую / в /:
M N
4 M J* N
Чтобы найти H ж К, мы соединяем / и / кривой ft, так что /0=/ и Z1=/. Искомая коммутативная диаграмма распадается в произведение диаграмм соответственно разбиению коммутативного квадрата на прямоугольники с малой высотой Д. Каждому такому прямоугольнику отвечает диаграмма
M —-> N
а
4 . Л4
' ft+Lt '
M-»¦ N
Если нам удастся для всех t от 0 до 1 построить Нь. и Ka в первом приближении по Д (с погрешностью порядка о (Д)), то, «интегрируя полученные инфинитезимальные коммутативные диаграммы», мы получим искомую диаграмму.
Условие инфинитезимальной устойчивости как раз и гарантирует возможность построения инфинитезимальных коммутативных диаграмм.
Чтобы не затемнять основную идею гомотопического метода техническими деталями, мы вначале применим его в простейшей ситуации следующей «леммы Морса».
Теорема. В окрестности невырожденной критической точки функция правоэквивалентна сумме квадратичной формы и постоянной.
Доказательство. Пусть /=SaJcxI' aTc^О- Нужно доказать, что для всякой функции ср из куба щ3 максимального иде- § 6] устойчивость и инфинитезимальная устойчивость
93
ала m росток в нуле функции / -j- ? правоэквивалентен ростку f в нуле.
Соединим / с /+<р путем IjTty, t ? [О, 1 ]. Мы ищем однопараме-трическое семейство локальных диффеоморфизмов X >-». gt (х), для которого
(f+t?)(gt(x))^f(x), ' (1)
E0(X) = X1 gt (0) = 0.
Рассмотрим соответствующее семейству gt векторное поле vt, зависящее от времени t:
»М*)) = (тг8* и) I ^x-
Дифференцируя (1) по t, получаем уравнение относительно vt:
^(gt(x)) + vt(gt(x))-(1 + ^) = 0 (2)
(точка озпачает дифференцирование функции по направлению стоящего слева от точки вектора).
Рассмотрим систему координат X1, ... , хт. Компоненты неизвестного поля обозначим vt< так что
2д
В этих обозначениях второе слагаемое формулы (2) принимает вид (it (Z)Hf + *р) = І Vti « (IaiXi + t?xi) Itfixy
Функции 'IaiXi 4- ЩХІ известны; мы обозначим их через у.. В этих обозначениях уравнение (2) принимает вид уравнения относительно vtyi:
т
Hy^t.i==—? (3)
»—1
[мы не пишем аргумента gt (х), одинакового в левой и в правой частях, так как уравнение(2) выполняется тождественно по (х, t) и, значит, тождественно по (gt (х), і)].
Якобиан det (ду/дх) на оси і всюду отличен от 0(так как срх. ? т2). Поэтому в окрестности оси t пространства с координатами (х, t) можно принять за новые координаты у{ и f.
Функция ср имеет на оси t нуль 3-го порядка. По лемме Ада-мара можно представить <р в виде <j> = 2 гДе Ф< (0. t) = 0. 94
ОСНОВНЫЕ понятия
[ГЛ. I
Тем самым мы решили уравнение (3): vt> i = —Зная семейство полей vt, мы находим gt (х) из дифференциального уравнения
^ gt (х) = vt (gt(x)), gQ(x) = x.
Заметим, что vt (0)=0, поэтому решение с близким к 0 начальным условием ж существует при f?[0, 1]. Кроме того, gt (0)=0. Поэтому gY — искомый диффеоморфизм. Лемма Морса доказана.
В качестве следующего приложения гомотопического метода рассмотрим теорему Тужрона об эквивалентности гладкой функции многочлену. В ее доказательстве гомотопическим методом появляются леммы, играющие основную роль и в доказательстве теоремы Мазера.
6.3. Теорема Тужрона о конечной определенности ростка функции в конечнократной критической точке.
Определение. Критическая точка 0 гладкой функции /: (R"1, 0) (!R, 0) называется конечнократной, если локальная алгебра градиентного отображения конечномерна, т. е. если
р. = dimRR [[X1, ..., XmHKdfjdx1, . . ., dfIdxJ < со.
Число [J. называется кратностью критической точки.
Теорема. В окрестности конечнократной критической точки функция правоэквивалентна многочлену (а именно своему многочлену Тейлора степени (i+l, если кратность равна fi).
