Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 3. Для всякого одночлена а достаточно высокой степени (а именно степени ^+1) гомологическое уравнение имеет гладко зависящее от t решение vt, обращающееся в нуль в начале координат.
Доказательство. Представим а в виде XiMs, где Ms — одночлен степени Доказательство леммы 2 (примененной к JjTt(O) дает способ построения гладко зависящего от t решения гомологического уравнения (#) с правой частью Ms. Умножая это решение на Xi, получаем искомое решение Vt.
Окончание доказательства теоремы. Представим а=—ср ^m ^+2 в виде функциональной линейной комбинации одночленов а, степени U.+1'
а (х) = Sc, (х) <х„ (х).
Решим гомологические уравнения (*) с правыми частями а, по лемме 3:
Л/+*Р). vi, »(0)=о.
Векторное поле vt =^lCs(X) vtt s определяет искомое однопарамет рическое семейство диффеоморфизмов gt:
a-$r = »M*))> gt(0) = 0. (/+*?)(&(«))=/(»)•
Теорема доказана.
3 амечание. Приведенное доказательство принадлежит Мазеру. Опубликовано четыре разных доказательства теоремы о конечной определенности (для гладкого и голоморфного случаев): [3], [95], [182], [75].
6.5. V-эквивалентность. Кроме правой и лево-правой экви-валентностей часто полезно рассматривать еще один вид эквивалентности, геометрически означающий диффеоморфность многообразий уровня отображения — так^Гназываемую F-эквивалент-ность.
Определение. Ростки / и /: (R'", 0)-*(R\ 0) называются V-эквивалентными (V—от variety; имеется в виду многообразие /_1(0)), если существуют росток g: (Rm, 0)-^(Rm, 0) правой замены, сохраняющей 0, и росток М\ (Rm, 0) -> GL (R") отображения пространства-прообраза в многообразие автоморфизмов пространства-образа (т. е. в многообразие невырожденных матриц, порядка п) такие, что
f (X)=E M (X) f(g (X)).
Ясно, что локальный диффеоморфизм g переводит росток множества /-1(0) в 0 в росток множества /-1(0) в 0. Отображения /(ж)=®2 и f(x)—3? имеют геометрически одинаковые множества /T1(O), но не F-эквивалентны.
Y1 В, И. Арнольд и ДВ. І50
основные понятия
" [гл. i
Теорема. Для V-эквивалентности двух ростков необходимо и достаточно, чтобы соответствующие им идеалы переходили один в другой при подходящем локальном диффеоморфизме g пространства-прообраза.
Действительно, обозначим через If идеал, порожденный компонентами / (т. е. идеал f*msAx в алгебре «функций от х» Ax).
Лемма. Если If = I/, то существует росток невырожденной матрицы Me 0, такой, что
f(x) = M(x)f(x).
Доказательство. Поскольку компоненты f входят в //, а компоненты / — в If, существуют (вообще говоря, необратимые)
матричные ростки P и Q, для которых
f(x) = P(x)f(x), f (X) = Q (X) П*)-
Следовательно, (QP—E)f=0,; поэтому матричный росток M=P+R[QP—E] при любом R переводит / в /. Остается подо-
__ брать R так, чтобы матрица M (0) не вы-
R рождалась. Ниже мы обозначаем через Р, Q, R, M значения соответствующих рост-Рис- 42. ков в нуле и рассматриваем их как ли-
нейные отображения R" R".
Представим R" в виде прямой суммы KerP и дополнительного пространства А, а также в виде прямой суммы ImP и дополнительного пространства В. Очевидно, dimj.=dimlm Р, dim B = — dim Ker Р. Поэтому можно определить R так, чтобы RA=O, R (Ker Р)=В. Тогда М(Кет Р)=В, M(A) = Im P mod В, поэтому M не вырождается, и лемма доказана. Теорема очевидно вытекает из леммы.
Определение. Ростки отображений /: (Rm, a) (R", Ь) и /: (R", а) (Rm, 5) называются V-эквивалентными, если они становятся F-эквивалентными после перенесения начала координат из а, Ъ и а, В в 0.
Замечание. Хотя в этом месте мы использовали линейную структуру пространств Rm и R", свойство F-эквивалентности от этой структуры не зависит: перенесения можно было бы заменить диффеоморфизмами. Можно даже доказать, что F-класс ростка / в а определяется следующей парой ростков то-мерных подмногообразий прямого произведения RmXRn в точке (а, Ь):
[«ось» a;=(R'", а) X й; график /] (рис. 42),
рассматриваемой с точностью до диффеоморфизмов пространства-произведения. Этот класс зависит от касания указанных подмногообразий, поэтому Мазер называет F-эквивалентность контактной эквивалентностью. Термин F-эквивалентность введен § 6] устойчивость и инфинитезимальная устойчивость 99
Ж. Мартине [151 ] во избежание путаницы с контактной группой (ср. гл. III).
6.6. Инфинитезимальная V-устойчивость. F-эквивалентности соответствует свое понятие инфинитезимальной устойчивости.
Пусть f: (Rm, 0) -»• (R", 0) —росток гладкого (оо-струя формального, . ..) отображения у = / (х) в нуле.
Рассмотрим пространство всех вариаций ростка /.
Пусть F(x, є) =/(z)-j- га(х)-\-. . . — однопараметрическая деформация ростка /.
Вариация (или начальная скорость) деформации F задается вектор-функцией а.
Обозначим компоненты /, F и а (в фиксированных системах координат) через /,., Fi, аі. «Функции» /< и а{ принадлежат рассматриваемой алгебре Ax (ростков гладких, формальных, аналитических или голоморфных функций ОТ (X1, . . ., хт) в нуле). Таким образом, вариация ростка / задается набором из п элементов алгебры Ax. Такой набор мы будем называть столбиком с элементами (O1, . . ., ап) и будем также обозначать через
