Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично находятся коэффициенты bv. Имеем
ж я
by — — I sin пи sin V^dCi — — / cos пи cos uCdu TT J TTU J
0
2 n
(Л-п(иє) + Jv+n(u?))
Следовательно,
OO
Є n / r / ч г / ч. COS I/С
COSli = -- + 2 > - Ju + i{ve)) -
Z , і/ (/=1
OO
Л / T / ч T / чл SinK Sinu = .2 > (Л_і(|/?) + Ji,+ ! (*/?)) -.
Jj/
1/=1
Значение угла u, О < u < 2тг, однозначно определяется по его синусу и косинусу. Поэтому указанные разложения этих функций решают задачу об определении движения двух планет. Они были найдены В. Бесселем. Эти ряды сходятся при всех значениях С и любом значении эксцентриситета эллипса е. До Бесселя задача двух тел решалась Лапласом с помощью разложения в степенные ряды по малому параметру є, сходимость которых была доказана при є < О;66274... .
Заметим, что функции Jft (ж) называются функциями Бесселя.
17 Лекции но математическому аналіш Лекция 26
10. ЯДРО ФЕЙЕРА И АППРОКСИМАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА
ВЕЙЕРШТРАССА
Наряду с тригонометрическими многочленами Фурье, которыми, согласно определению, являются частичные суммы ряда Фурье, большую роль в теории тригонометрических рядов играют многочлены Фейера. В качестве примера использования свойств этих многочленов докажем теорему Вейерштрасса о равномерном приближении функции, непрерывной на отрезке, последовательностью тригонометрических и алгебраических многочленов.
Определение X. Тригонометрическим многочленом Фейера
порядка п для функции д(х) называется функция Pn(я) вида
1 п-1
Рп{х) = - V gm(x), п
т=0
где gm{x) — многочлен Фурье порядка п для функции д{х), т.е. частичная сумма ряда Фурье вида
m
9m{x) = — + У^jak cos кх + bk sin кх), 1 *=і
причем числа ак и Ьк при всез( к = 0,1,..., m являются коэффициентами ЭйJtepa - Фурье функции д(х).
Из определения, очевидно, имеем
? V п)
к-1 х '
~ + ^ ( 1 - ) (да; cos кх -j- bk sin кх).
Используя интегральное представление для дт(ж), приходим к равенству
п-1 *
= J 9{* + y)Dm(y)dy = J g(x + y)Fn(y)dy,
т=0-х
Ще
п-1
' r«V - J_ Vt 8Іп(т+*/2)У
2Trn^i sin у/2
To=O
514 Определение 2. Функция Fn(у), определенная последним равенствомназывается ядром ФеЙера порядка п.
Установим некоторые свойства функции Fn(x). Справедливы следующие утверждения.
Jl е м м а 1. При ті > 1 справедливо равенство
F (Х) - -L
n{ } - 2rrn { sin ж/2 J '
Отсюда, в частности, следует, что Fn (ж) > 0 при всех х.
Доказательство. Суммируя по га, с помощью известных тригонометрических формул получим
F (~\ - _L Y^ sin(m+ 1/2)х _
П[ )~2тт^п sin ж/2
т=0 '
1 Vi : г 1\ . X
0 sin ( т + - f ж sin 2тгп (sin ж/2) ^r0 \ *>>
і " 1
2 2
и - '
П — 1
cos тх — cos (т -f 1)ж 2я-п (sin 2
1 — cos пж _ 1 fsmnx/2\2 2тгп ¦ 2 (sin I)2 ~ 2тгп \ sin ж/2 У
Лемма 1 доказана.
JI е м м а 2. При u > 1 имеем
тг тг
Jn = J Fn{x)dx = 2 J Fn(x)dx = 1.
— TT
Доказательство. Так как при всех т справедливо равенство
J Dm(x)d3
Ix=I,
— тг
п— 1
то Jn = ~ Yl 1 — 1. Лемма 2 доказана.
т—0
і
17* 515 Jl е м м а 3. Для любой функции д(х) ? W2ir справедлива формула
ТГ
Pn(x) ~g(x) = J(g(x + y)-g(x))Fn(y)dy.
— TT
Это утверждение прямо следует из леммы 2 и из формулы интегрального представления для Pn(ж).
Теоремаї (теорема Фейера). Если функция д(х) непрерывна на отрезке I = [—тг, тг] и д(—іг) = д(тг), то последовательность ее многочленов Фейера Рп(х) сходится к д(х) равномерно на I.
Доказательство. Функцию д(х), как 2л--периодическую, продолжим на всю вещественную ось. Она будет непрерывна на М, следовательно, и равномерно непрерывна на /. Это значит, что при любом є > 0 найдется число S = ^(б1) > 0 такое, что при всех у с условием |yj < S и всех X Є I выполнено неравенство
\д(х + у)-д(х)\<є/2.
Кроме того, ввиду ограниченности д(х) на отрезке I при некотором С > 0 и всех X и у Є I имеем \д(х + у) — у(я)| < С. Но тогда справедливы оценки
к
\д(х) - Pn(x)\< J Fn(y)\g(x + у) -g(x)\dy <
— 7Г
-<5 S -тг S
< ? с 1 - 2 + n (sinrf/2)2
если ТОЛЬКО П > По (є) = 2 (si пб/2 '
Но это и означает, что Pn(х) =^д(ж). В силу 2я--периодичности Pn(х)
и д(х) отсюда при п —> оо также имеем
Рп(х) =$д(х). R
Теорема 1 доказана.
Из этой теоремы немедленно вытекает справедливость следующей аппроксимационной теоремы Вейерштрасса для алгебраических многочленов.
516 Теорема2. Пусть функция д(х) непрерывна на отрезке Iq = [0,7г]. Тогда существует последовательность алгебраических многочленов Qn (х), равномерно сходящаяся к д(х) на этом отрезке.
Доказательство. Доопределим четным образом функцию д(х) на отрезке [—7г, 0] и затем периодически продолжим ее на всю числовую ось Ж с периодом 2тт. Тогда функция д(х) будет удовлетворять условиям теоремы 1. Поэтому при є — ^ найдется номер т, для которого многочлен Фейера Pm(х) приближает д(х) с точностью до є/2. Но сам многочлен Pm(х) можно разложить в ряд Тейлора, который сходится равномерно на Io = [0, тг] к д(х). Теперь в качестве Qn (#) возьмем многочлен Тейлора, приближающий Pm (х) с точностью до є/2. Тогда всюду на Io многочлен Qn(х) будет приближать д(х) с точностью до є.
