Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Метод, использованный в лемме 1, позволяет доказать еще одну лемму, которая потребуется при выводе признаков поточечной сходимости рядов Фурье.
JI е м м а 2. Пусть /(х) Є W2ir. Положим
ь ь ь
CXn = J f(y) cos пу dy, ?n= j f{y) ctg I sin ny dy, ^n = j f{y) Dn у dy.
a a a
Тогда если 0 < a < b < 2л\ то a'n —> 0 при п —у оо, если же выполнено более строгое условие 0 < a < b < 2тг, то ?n —у 0 и уп О при п —f оо.
Доказательство. Величину ап можно рассматривать как коэффициент Фурье функции <?(х) Є W2nt которая совпадает с f(x) на интервале (а, 6) и обращается в нуль для точек х отрезка [0,2тг], не принадлежащих отрезку [а, 6], т.е. для точек множества E = = [0, 2тт]\[а, 6]. Отсюда по свойству коэффициентов Фурье имеем an -> О при п —у со. Подобным образом величину ?n можно рассматривать в качестве коэффициентов Фурье bn другой функции /і(х) G W2frj которая на интервале (а, Ь) совпадает с функцией f(y) ctg а для точек множеЬтва E обращается в нуль. Поэтому ?n —У 0 при п —у оо. А так как yn = ~(й„ + ?n), то и 7П —у 0 при п -У со.
Лемма 2 доказана.
§ 6. ПРИЗНАКИ ПОТОЧЕЧНОЙ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ
Снова будем рассматривать функцию д(х) из класса W2ir. Используя интегральное представление для частичной суммы ряда Фурье, найдем
501 выражение для разности гп между значением функции д(х) в точке X = хо и значением ее частичной суммы En в этой точке. Имеем
* О т
rn = En - д{хо) = J{д{х0 -I- у) - g{x0))Dn(y)dy = J- + J =
~ж -ж 0
= 2 j 9Ы + У) + Я(*о-У)-Ы*о)0пшу = 2 jv{y)DAy) dy =
1 } sin (п+ 1/2) у , 1 [ ( \ ( , У ¦ ,
= - J ПУ)-s[ny/2- У = п J ^ Vg 2 SmПУ COSЩ) У'
о о
где
=Wtf = +
Здесь величина <р{у) как функция от у принадлежит пространству 1^(O) = 0 и функция jp{y) непрерывна в точке у = 0.
Теоремаї (признак Дини). Пусть при некотором S > 0 существует следующий несобственный интеграл второго рода:
S
Mv) I
ві= ( Ш^іу. J У
Тогда ряд Фурье E функции д(х) в точке х = X0 сходится к значению Р(хо).
Доказательство. В силу произвольности S можно считать, что S < тт. Поскольку интеграл
_ [ ш\
f M^ J у
B6 = / i^^-dy
сходится, при любом є > 0 найдется число h = h(e) > 0 с условием
h
ШI
= [Mi
J у
Bh = / < е.
о
Далее из интегрального представления для разности rn = En-#(хо) имеем равенство rn = rni + rn2 + т*п3) где
TT п
гп = і J <р(у) ^ctg I sin ny + cos ny) dy, rni = J <р(у) ctg | sin nydy, 0
502 JT 7Г
Гп2 = ^ J ?>(у) Ctg I sin nydy, rn3 = і J y?(y) cos nydy.
A 0
По лемме 2 §5 имеем rn2 -+ 0 и г„з —> 0 при п —> оо, т.е. при всех достаточно больших п получим Г„2 < є И Г„з < є. Относительно величины гп1 заметим, что если 0 < у < Л < тг, то
!../,.Mcosу/2 ^ I^(V)I ^ *МУ)1
поскольку на указанном выше промежутке справедливо неравенство
. У ^ У 2 їг
Отсюда следует, что
»•nil
A Ah
і J h (у) sinnydy < J Ifl(V)Idy < J I^Mi dy < е.
Поэтому при всех п > по(е) имеем оценку |гп| < Зє. В силу произвольности выбора числа є > 0 это означает, что гп —> 0, т.е. в точке X = Xq ряд Фурье E сходится к значению д(хо).
Теорема 1 доказана.
Определение 1. Будем говорить, что функция д(х) удовлетворяет условию Липшица с параметром а, где 0 < а < 1, если в некоторой 6-окрестности точки Xq выполняется неравенство
\g(x)-g(xQ)\<l\x-x0\a,
где L > 0 — некоторая постоянная.
В случае когда это условие выполнено во всех точках отрезка [xo,zi], говорят, что функция д(х) принадлежит "классу Липшица а". Число L называется константой Липшица. При а 1 просто говорят, что д(х) удовлетворяет условию Липшица.
Теорема2. Если в точке Xq для функции д(х) выполнено условие Липшица с параметром а, то ее ряд Фурье в данной точке сходится к значению д(хо).
Доказательство. Покажем, что в данном случае к функции у (я) можно применить признак Дини. Действительно, при |у| < 8 имеем
Иу)| < + у) - g(*o)l + И*о -у)- зЫ\ s ща^
503 откуда следует, что
S
Bs=j\mdy<Ljy^dy=!^<+00.
о
Это значит, что условия признака Дини выполнены и ряд Фурье функции д(х) сходится к значению 5(я0). Теорема 2 доказана.
Докажем еще два признака сходимости рядов Фурье.
Теорем а 3 (Признак Дирихле). Если 2тг-периодическая и строго регулярная функция д(х) является кусочно-монотонной на отрезке [0,27г], то ее ряд Фурье сходится всюду к значению д(х).
Замечание. Кусочная монотонность функции ^(х) означает, что весь отрезок [0,2л-] можно разбить на конечное число промежутков, на каждом из которых д(х) монотонна. В частности, кусочно-монотонная ограниченная функция будет функцией ограниченной вариации.
Доказательство теоремы 3 является простым следствием еще одного признака, заключенного в следующей теореме.
Теорема4 (Признак Жордана). Пусть функция д(х) Є W2lr и 0 < 8 < тт. Пусть, далее, в некоторой 8-окрестности точки Xq функция д(х) имеет ограниченную вариацию. Тогда ряд Фурье этой функции сходится в точке Xq к значению g(xо).
Доказательство. Поскольку ip(y) — функция ограниченной вариации, она может быть представлена в виде <р(у) = lpi (у) — <р2(у), где <pi (у) и ip2(у) — неубывающие неотрицательные функции. Можно считать, что y>i(0) = ??2(0) = 0 и функции </?i(y) и (р2(у) непрерывны в точке у = 0, так как этими свойствами обладает функция (р{у). Действительно, монотонные функции имеют в каждой точке односторонние пределы. Тогда правосторонние пределы в точке у = 0 для обеих функций совпадают. Вычитая из каждой функций это общее предельное значение, получим две новые функции, которые будут удовлетворять всем указанным выше условиям, если только их значения в нуле взять равными нулю.
