Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
OO
OO
OO
(A1A) = ^(A)=O,
а отсюда следует, что h(x) = О или f(x) = при всех х. Теорема 1 доказана.
T е о р е м а 2. Если тригонометрический ряд
OO
X Cfc Д (ж) = у + Xz^an COS ПХ + ^n s^nnx)
493 сходится равномерно на отрезке I = [0,2л1], то его сумма д(х) является непрерывной функцией на I и данный ряд является ее рядом Фурье и он допускает почленное интегрирование.
Доказательство. Все функции sin пх и cos nx непрерывны на /, и в силу равномерной сходимости ряда ЕС*Л(Х) его сумма д(х) является непрерывной функцией. Отсюда вытекает, что равенство
можно проинтегрировать по отрезку I и при этом в силу равномерной сходимости ряда на / в правой части равенства возможно почленное интегрирование. В результате приходим к равенствам
поскольку (JkJn) = 0 при к фп и (JklJk) = 1.
Таким образом, установлено, что числа ск одновременно являются коэффициентами Фурье функции д(х). Теорема 2 доказана.
ТеоремаЗ. Тригонометрический ряд Фурье YcnJn(x) строго кусочно-гладкой 2іт~периодической функции д(х) сходится к ней равномерно на отрезке I = [0,2тг].
Доказательство. Сначала покажем, что тригонометрический ряд
сходится равномерно на I. Для этого достаточно показать, что числовой ряд E(la*l + IM) сходится и тем самым является мажорантой для
Прежде всего заметим, что функция Л = h(x) = g'(x) Є И^m поэтому (Л, Л) < +оо, и для функции h(x) справедливо равенство Парсеваля, т.е.
fk(x)g(x) = Jk(х) E Cnfn(x)
OO
OO
где
О
О
494 2ж 2тг
?k = — J h(x) sin k.xdx = — J g'(x) sin kxdx.
о о
Далее, поскольку g'(x) — строго регулярная функция, то при всех к 6 N в этих интегралах допустимо интегрирование по частям. С его помощью получим
2т 2ir
ofjt = — I д'(х) cos kxdx = — I д(х) sin kxdx = — kbk, KJ n J
O
2т 2т
= — J g'(x) sin kxdx = — J g(x) cos kxdx = kak,
о
т.е. ak =Z ?k/k, bk = —ak/k. Но тогда имеем
( I _ \?k\ , д2 , 1 IJL I M /Л2 , 1
Ы = -jp < Pk + jfj» IM = < + •
Отсюда следует, что
OO OO OO ,
Dm+їм) < №+A)+2 E р <
fe=l Jt=I Jfc=I
OO 1
/? 1
Итак, мы доказали, 'что ряд ?ckfk(x) сходится равномерно на I к некоторой сумме <р(х). Но по теореме 1 функция <р(х) должна быть непрерывной и совпадать с <7(ж). Тем самым теорема 3 доказана полностью.
Теорема 4. Если 2тг-периодическая функция д(х) диффе-рёнцируема п раз, где n > 1, и ее n-я производная является строго кусочно-гладкой функцией, то: •
1) ряд Ykn(\ak\ + \bk\) сходится;
2) ряд Фурье функции д(х) можно почленно дифференцировать п раз. Здесь числа ak и bk являются коэффициентами Эйлера - Фурье для функции д(х).
Доказательство. На основании предыдущей теоремы заключаем, что функция <pn(x) =z д(п)(х) равна сумме своего ряда Фурье, который равномерно сходится на отрезке I = [0,2тг]. Кроме того, если ak и ?k — ее коэффициенты Эйлера - Фурье,
495 то ряд X^d0^! + \?k\) сходится. Отсюда путем последовательного интегрирования по частям, как и при доказательстве теоремы 3, приходим к равенствам
Тем самым утверждение 1 доказано. Справедливость же утверждения 2 следует теперь из общей теоремы о почленном дифференцировании функционального ряда, так как тогда каждый из числовых рядов + М) сходится при любом т = 1,..., п — 1 и является мажорантой для последовательных производных суммы тригонометрического ряда Фурье, т.е. функций <рт(х) = /(m^ (х) на отрезке I = [0,27г]. Теорема 4 доказана.
Заметим, что вместе с теоремами 3 и 4 попутно доказана следующая теорема.
Теорема 5. 1. Если сходится числовой ряд XT Iа« I + !^"I > то тригонометрический ряд
сходится равномерно на отрезке [0,2тг] к некоторой непрерывной функции д{х), являясь ее рядом Фурье.
2. Если при этом сходится ряд ^nfc(|an| + \bn\), где k > 1, то ряд Фурье функции д(х) можно почленно дифференцировать к раз.
|<**| = fcnja*j, \?k\ = kn\bk\, если п четно,
j = А:П|Ь*|, \?k \ = fcn|afc), если п нечетно. Лекция 26
§ 5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЧНОЙ СУММЫ РЯДА ФУРЬЕ. ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ РИМАНА
Одной из важных задач теории тригонометрических рядов Фурье является нахождение условий, обеспечивающих сходимость данного ряда в фиксированной точке к значению породившей его функции. Возникающая здесь ситуация достаточно сложна. Оказывается, что ряд Фурье функции, непрерывной в данной точке, может в ней расходиться. В то же время пример функции ръ(х) показывает, что разрывность функции, вообще говоря, не препятствует сходимости ее ряда Фурье к ней самой во всех точках вещественной оси. Далее мы рассмотрим простейшие признаки поточечной сходимости тригонометрических рядов Фурье. Но для этого потребуется вывести интегральное представление для их частичных сумм. 4
Введем следующее обозначение. Будем писать
со
д(х) '—;—I- VJ ак cos кх H- bk sin кх, 2 ' к = 1
если все числа а^ и Ьк выражаются через д(х) по формулам Эйлера -Фурье. Другими словами, тригонометрический ряд в правой части последнего соотношения является рядом Фурье функции д{х). Если он сходится в точке Xq к значению то можно записать равенство
