Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
OO
9ІХо) = + X] йк cos + ^fc sin 1 fc=i
Преобразуем ряд Фурье функции д(х) с помощью формулы Эйлера
etx = cos X -f і sin ж,
где г мнимая единица, i2 = —1. Для простоты можно эту формулу рассматривать как определение функции ех при мнимых значениях аргумента. Легко доказать, что тогда основное функциональное свойство экспоненты в этом случае сохраняется на всей комплексной плоскости, т.е. если г = а + Ы (а,Ь G М), и мы считаем, что е2 = еа+ы = еа • еы, то
где z\ vi Z2 — комплексные числа. Далее, ввиду того что
gikx _j_ g — ikx _
cos кX = ---, sin kx — ---,
497 имеет место равенство
П rt
Sn = + Е(а* cos кх+bk sinkx) - Yldkeikx'
aO
+
Ar=I fc=-n
где do = |ао И dk = |(а|*| ~ ~ І(аІ*І ~ sign*) ПРИ k Ф
Заметим, что для величин dk при целом к выполнены соотношения
2 тг 2ir
dk — [д{х)е tkxdx — f g(x)(cos kx — г sin kx)dx = 2ir J 2п J
о о
2?г 2п
Vo о /
Введем теперь для комплекснозначных 2тт-периодических функций /(ж) и скалярное произведение (f,g) по формуле
2п
и,9) = ^j IHgHdx.
о
Как обычно, черта над знаком функции означает операцию комплексного сопряжения. Тогда имеем
откуда следует, что
dk = (g(x),eikx) и (CiaV1^) = I.
Таким образом, совокупность функций {є1**}, где к принимает все целые значения, образует ортонормированную систему функций относительно введенного выше скалярного произведения. Заметим еще, ЧТО весовой коэффициент H равен здесь ^jr-
Эту комплексную форму записи ряда Фурье мы используем при выводе удобной для применения формулы для частичной суммы Sn ряда Фурье функции д(х). Имеем
п п 27Г
E-=E d^"' = І E еІкі J 9(t)t~ik,dt =
k——n k=—n Q
2ir n 2?r
= JZ f 9(t) E tik(?-t]dt= f g(t)Dn(x-t)dt, о *=-« о
где функция Dn (у) определяется равенством
2тг
498 Определение 1. Функция Dn(y) называется ядром Дирихле порядка tl.
Установим связь между введенной ранее функцией Tn (у) и ядром Дирихле -Dn(у). Имеем
= віптг(2п+ i)y = х + 2ycos2nky = У cos2jrky =
sm*y МҐ1 ^n
n n
= ]Г (cos 2яку -f- і sin 2жку) = Y = 2irDn(2TTy).
к = -п к—~п
Полагая у = отсюда получим равенство
г» / \_ 1 т (Х_\ _ 1 sin (п+ 1/2) х
jjnW - 2пп \2п) " 2тг sinх/2
Очевидно, что функция Dn(x) обладает следующими свойствами: I0./ Dn(x)dx= 1; 2°.Dn(x) = Dn(-x)-
3 KDn (х) = ±sintS)X = & Ы І «in nx + cos nx) . Поскольку функции <?(x) и Dn(x) являются 2тг-периодическими, с помощью замены переменной вида t =• х + у частичная сумма En преобразуется к следующему выражению:
2 JT 2 IT
En = En(у(х)) = Jg(t)Dn(x - t)dt = Jg(t)Dn(t - x)dt =
о о
Г+2їг 7г
= J 9(x + y)Dn(y)dy = J g(x + y)Dn(y)dy =
X -JT
JT
2тг у sm у/2
— TT
TT 1Г
J д(х +у) ctg I sin nyrfy + J д(х + у) cos nydy.
-JT —7Г
Определение 2. Эту цепочку равенств назовем интегральным представлением частичной суммы En ряда Фурье.
Справедливо следующее утверждение.
499 Л є м м а 1 (лемма Римана). Пусть д(х) 6 W2n я при некотором S > О имеем равенство д(х) = О при всех х Є (хо - S1 X0 + J). Тогда ряд Фурье функции g(x) в точке х = Xq сходится к нулю.
Доказательство. Пусть функции Л (у) и f2(y) определены равенствами /і(у) = 4-у) ctg | и /2(у) = %g(x0 + y). Тогда /і(у)
и h{y) Є W2wt поскольку функция ctg | непрерывна вне любой S-окрестности каждой точки вида х = 2тгк, где к — произвольное целое число, а внутри этой окрестности функция /і (у) равна нулю. Поэтому при x —- Xq имеем
где 6„(/і) и an(f2) являются коэффициентами Эйлера - Фурье функций /і (у) и f2(у) соответственно. Поскольку для этих функций справедливо равенство Парсеваля, 6n(/i) ->0 и an{h) 0 при п —> оо, откуда и следует, что Sn —У 0. Лемма доказана.
Из леммы Римана вытекает справедливость следующего утверждения.
Теоремаї (принцип локализации Римана). Поведение ряда Фурье в точке x = xq полностью определяется значениями функции g(x) 6 W2n в произвольно выбранной S-окрестности этой точки.
Доказательство. Нам, по существу, надо доказать, что если функцию <7(я) изменить произвольным образом вне любой фиксированной ^-окрестности точки X0, то сходимость ряда Фурье не нарушится и его суМма в этой точке не изменится. Другими словами, если частичная сумма Еп(<7(хо)) ряда Фурье функции д(х) Є W2n в точке x = Xo сходится к числу а и функция h(x) E W2n совпадает с <7(х) внутри некоторой (5-ОКреСТНОСГИ ТОЧКИ Хо, то и Е„(Л(хо)) —г сх при п —> оо.
Для доказательства рассмотрим разность
Функция г(х) в точке X = Xo удовлетворяет условию леммы Римана. поскольку r(x) = 0 при всех X Є (хо — S, хо + <?). Следовательно, при п —>¦ оо имеем
JT
Sn = ?п(з{х0)) = 9І*о + y)Dn{y)dy =
= M/l) + On (/2)
r(x) =T g(x) - h{x) є W2
JT •
E„(r(x0)) = En((/(X0)) - En(h(x0)) -> 0.
500 Но так как Ип(д(ха)) а при п -+'оо, то тогда и Un(Mxo)) а ПРИ п —У оо. Теорема 1 доказана.
Заметим, что требование принадлежности функции <j(x) классу W2ir можно значительно ослабить. Действительно, анализ доказательства леммы Римана и теоремы 1 показывает, что для их справедливости, по существу, достаточно, чтобы коэффициенты Эйлера - Фурье разности г(х) = д(х) — Л(х), а также функции <р(х) = r(x)ctg| стремились к нулю с возрастанием их номера к бесконечности. Для этого, вообще говоря, достаточно интегрируемости по Риману модулей этих функций на отрезке [0,2тг] как несобственных интегралов второго рода. Доказательство последнего утверждения не слишком сложно, но поскольку в принципе оно мало отличается от уже разобранных случаев, то проводить его мы не будем.
