Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
b c-S Ь
или
a c+S a c-S
С+0 о с—д о
J + J или / + /
Так как для х Є (а, с — 8) или х Є (с -f- 8, Ь) имеем
F(x)| =
x
J F"(t)dt
> A2 - с\ > А28,
то
Кроме того, тривиально получим \h\< 28. Следовательно,
о /
>F(*)d3
<~-^28<SX;l/2. - А28 - J
Теорема 2 доказана полностью.
Пример. Найдем асимптотику функции Бесселя
W
Jk(x) — ~ Jcos(xsin(р — k<p)d<p при
X —> +оо.
a
540 Рассмотрим интеграл
w
I J eiF(V) d(p - j^etp
x Sin tp.
Имеем
F [ip) = к — X cosy?, = xsiny?, F (ас) — ж cosy?.
Определим точку Vo из условия F (у?о) — 0, т.е. cos^o = k'jx. Тогда
F"Wо) = Vx2-к2.
Поскольку X +оо, при достаточно больших значениях х имеем 7г/4 < <ро < Зтг/4. Поэтому
тг ff/4 Зтг/4 jt
О тг/4 Зтг/4
Оценивая первый и третий интегралы из второй теоремы о среднем, получим
Jr/4 /¦
iP
<
в
< —
|F'(TT/4)| \xV2/2-k\ - X1
тг
/
H 4
<
я
где 5 — некоторая положительная постоянная. Для точек ip промежутка [тг/4, Зтг/4] имеем
X > |F "(v?)j = |xsiny?) > I-F "(ЙІ < я.
Следовательно, из теоремы 2 найдем
Зтг/4 /
тг/4
?^) //(Л - л/2^1__- + Язе"3/5
е аїр-V^ -tax
т.е.
/2 cos(тг/4 + к arccos\к/х) — \/ х2 — к2) _3/5
Л(") = Уї--:— + ?I
541 или
2 cos (тг/4 + Ttkfl - х) TT у/х
В заключение заметим, что соединение методов Лапласа и стационарной фазы в теории функций комплексного переменного приводит к методу перевала. Важный вклад в разработку его внесли О. Коши (Cauchy О. Memoire sur divers points d analyse //Qeuvres completes. Paris. 1889 - 1911. Т. II.), Риман Б. (О разложении отношения двух гипергеометричеких рядов в бесконечную непрерывную дробь //Сочинения. M., 1948. С. 187 - 194), П. А. Некрасов (Ряд Лагранжа и приближенные выражения функций весьма больших чисел //Мат. сб. 1886. Т. 12. С.645 - 724) и П. Дебай (Debye P.Naherungsformeln fur die Zylinderfunktionen fur grosse Werte des Arguments und unbeschrankt veraderliche Werte des Index //Math. Ann. 1909. Bd. 67, S. 535 - 558). Современное изложение метода перевала можно найти в монографиях (Копсон Э. Т. Асимптотические разложения. M., 1966; Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. M., 1957; Брейн Н. Г. де. Асимптотические методы анализа. M., 1961; Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. M-, 1970). История вопроса обсуждается в статье С. С. Петровой и А. Д. Соловьева (Об истории создания метода перевала. Историко-математические исследования. 1994. Вып. 35). ЧАСТЬ IV
КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Заключительные главы курса математического анализа касаются разделов математики, общих как для математического анализа, так и для специальных дисциплин, таких, как теория функций действительного и комплексного переменного, дифференциальная геометрия, функциональный анализ. Это обстоятельство объективно способствует увеличению объема материала, включаемого в вузовские учебники по математическому анализу.
С другой стороны, мы стремились построить данный учебник строго на основе курса лекций, сохраняя разделение материала на фактически прочитанные лекции. Опыт показывает, что это удобно и полезно как для студентов, так и для .преподавателей, поскольку каждая лекция является своеобразной мерой усвоения новых знаний. Поэтому единственным резервом для включения в курс новых элементов мы видим совершенствование его изложения.
Эта часть курса, в основном, посвящена теории кратного интеграла Римана, а также криволинейным и поверхностным интегралам в пространстве произвольного числа измерений. Важно отметить, что, на наш взгляд, современная теория интегрирования на поверхностях опирается на понятие интеграла Римана, что предполагает систематическое его изучение в курсе анализа. Здесь мы доказываем классические теоремы Грина, Стокса и Гаусса - Остроградского с их стандартной интерпретацией в виде формул векторного анализа. Чтобы показать возможности предложенного подхода к построению теории поверхностных интегралов, мы даем доказательство формулы Стокса для кусочно-гладкой ориентированной поверхности произвольной размерности в многомерном пространстве. Попутно строится элементарная теория дифференциальных форм и теория объема многомерной поверхности.
Следует отметить, что ряд важных теорем рассмотрен в курсе в "модельной" ситуации, т.е. в частном случае, принципиально сохраняющем все наиболее трудные аспекты общего случая, но позволяющем несколько упростить изложение. К их числу относятся, в частности, формула замены переменных в кратном интеграле и некоторые формулы и теоремы о криволинейных и поверхностных интегралах.
543 Глава XIX КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Лекция 1
§ 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА КАК ПРЕДЕЛ ПО ВАЗЕ
Двойной интеграл — это интеграл от функции двух переменных, взятый по обеим переменным одновременно. Данная фраза не является определением, она только указывает на то, как мы намерены вводить обобщение понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных.
