Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, для любого є > 0 существует значение h = h(e) > 0 такое, что 0 < <р\(Л) < є и 0 < <p2(h) < є. Можно считать, что h < 8.
Для остатка ряда Фурье функции д(х) в точке хо справедливо представление
*„ = 2 J <p(y)Dnydy = rn> 1 + rn,2,
где
А тс
Гп> 1 = 2 J <p(y)Dnydy, rn>2 = 2J <p{y)Dnydy.
504 Без ограничения общности будем считать, что </?(у) = <рі(у), т.е. <р(у) — неубывающая неотрицательная функция. По лемме 2 §5 величина гП)2 —У 0 при п —> оо. Поэтому достаточно показать, что гП)і < сє, где с > О — некоторая постоянная. Заметим, что <p(h) < є. Применяя к интегралу гПіі вторую теорему о среднем, получим
где функция Tn(ж) определена в §1.
Далее, О < < ^r < ^5 поскольку Л < гг. Поэтому, применяя к последнему интегралу оценку леммы 2 §1, будем иметь
Тем самым теорема 4 доказана.
Замечание. Использование леммы 2 §1 в доказательстве теоремы 4 связано с тем, что величина ? = в зависимости от п может изменяться, и поэтому прямое применение леммы 2 §5 невозможно.
Л
Л/2тг
г„,1 < 2у>(Л) • 4 < 8<г. Лекция 26
§ Т. ПОВЕДЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ
Приведем несколько утверждений относительно поведения коэффициентов Фурье для некоторых классов функций.
1. Пусть д(х) EW — четная функция. Тогда из формул Эйлера - Фурье имеем, что все коэффициенты Фурье Ьп = O, т.е. ряд Фурье функции </(#) представляет собой тригонометрический ряд по косинусам.
Пусть теперь д(х) Є W — нечетная функция. Тогда ап = 0 для всех натуральных чисел п, т.е. д(х) разлагается в ряд Фурье по синусам.
Пример. На интервале (0, тг) имеет место равенство
Данное равенство является простым следствием разложения функции Бернулли ро{я) в ряд Фурье.
Если на интервале (0,тг) задана функция д(х) Є Ws причем tf(O) = =¦ lim g(x)t д(7г) = Iim д(х), то мы можем распространить ее на
JP-+ 0+ г—Иг —
всю вещественную ось, как 2 ^-периодическую и четную или нечетную функцию. В случае четной функции ей соответствует ряд Фурье по косинусам, а в случае нечетной — ряд Фурье по синусам.
2. Пусть д(х) Є W. Тогда ее коэффициенты Фурье стремятся к нулю при возрастании их номеров к бесконечности. Действительно, из неравенства Бесселя имеем, что ряд сходится. Поэтому
из необходимого признака сходимости ряда получим
Это свойство коэффициентов Фурье мы уже неоднократно использовали.
Замечание. Если ап и Ьп таковы, что ряд
OO
lim ап — lim bn = 0.
п—юо
п-юо
t
OO
п=1
сходится, то ряд
OO
п=1
506 есть ряд Фурье некоторой функции /(х) из класса L2 - функций, интегрируемых в квадрате (теорема Ф. Рисса - Фишера). В этом случае говорят, что ряд Фурье сходится в среднем квадратичном. Более точно это означает, что при п —> оо имеет место соотношение
2тг
j(f(x)-sn(x))2dx^ 0.
о
Покажем, как теорема Ф. Рисса - Фишера сведется к свойству полноты класса функций L2. Пусть
п
sn (х) = -- -f- ^^(ofc cos кх + bit sin кх) 2 k=i
обозначает n-ю частичную сумму тригонометрического ряда. Тогда в силу сходимости ряда ]С(ап + ^п) имеем
2* 2тг /
/
(sn(x) — sm(a))2dx = I j cos кх -H bk sin кх J dx =
о О V*=m+1
n
при n > m, m —> оо.
Следовательно, в силу полноты класса функций L2 последовательность частичных сумм {««(ж)} ряда Фурье сходится в среднем квадратичном к некоторой функции из этого класса. * 3. Пусть f(x) удовлетворяет условию Липшица, т.е.
\f(х + h) — f[x)\ < L\h\a,
где L > 0 и й > 0 — некоторые постоянные. Тогда справедливы неравенства
, , Lira „ . Lira
Ы<—, \ьп\<—.
Из определения коэффициентов Фурье и периодичности f(x) и cosnx имеем
2тг 2тг—ir/n
ап = — J f(x) cos nxdx — ~~ ~ J ^ cos —
— п/п
507 2 тг
~ У / +f)cos n^-
Отсюда получим
2тг
an = J (/(я) - / + я)) cosnxdx.
Следовательно,
2rr
dx < ^
- na
Аналогично доказывается оценка и для bn.
4. Пусть f(x) — функция ограниченной вариации на периоде. Тогда имеем
а„ = о(1), 6„ = о(1).
Из определения функции ограниченной вариации на [0,2л-] получим, что f(x) — /і(х) — /2(2), причем fi(x) и /2(х) положительны и не убывают. Применим вторую теорему о среднем для оценки следующего интеграла. При некотором ?,0 <? < тг, будем иметь
2fr 2/г
J fi{x) cos nxdx ~ fi(2тг) Jcosnxdx = —/i(2?r)S*n = O ¦
0 ^
Следовательно,
a„ = 0(I), b„ = 0(l).
5. Ряд Фурье для 2/-периодической функции Є W при I ф тг. Рассмотрим функцию h(y) = д (Iy/іг), которая имеет период 2тг.
Поскольку h(y) Є W,
OO
Mj/) ~ у + COS ку -f bk sin ky).
fc=i
Если теперь выразим у через х : у = xiт/1, то получим
CtQ \—^ / ІСХTC \
д(х) = Л(з/) ~ у + 2_Д cos — + bk sin — J ,
к =1 ^ '
508 при этом
тг I
ак = ~ J h(y) cos kydy = j J д(х) cos ^-еIx.
-п -I
Аналогично имеем
і
1 С кхтт ¦
Ьк - j / 5(x)sin -у-dx.
-і
Другими словами, вся построенная нами теория рядов Фурье для функций, имеющих период 27Г, с помощью линейной замены переменной переносится на случай 2/-периодических функций.
§ 8. РАЗЛОЖЕНИЕ КОТАНГЕНСА НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИНУСА В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО
