Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Ш<
ь ь
f <rN(x)f'(x)dx < 4M [ ** .
J J V 1 + N2 sin ігх
Подынтегральная функция в последнем интеграле периодична с периодом 1 и четна, поэтому имеем
1/2 / 1/ЛГ 1/2 \
|ад<8М(6-а) f dx __ < SM(b-a) I. f dx + [ dx
J у/1 + N2 Sin2 7ГЯ \ J J
2 Nx
1 /JV J
%M(b — a) (1 +
1 ( In N/2\ 8M(6 — a) In TV
2 NJ N
Теорема 3 доказана.
Изящное приложение формулы суммирования Пуассона дал Дирихле. Он нашел точное значение сумм Гаусса вида
JV 7 N
2тгп2 А . 2тгп2
y^sin .
N N
п—1 П=1
Упомянем еще об одном красивом применении формулы Пуассона, данном в 1903 г. Г. Ф. Вороным, к задаче о нахождении асимптотического выражения для количества целых точек под гиперболой (эта задача носит название "проблема делителей Дирихле"). Остановимся на вычислении значений сумм Гаусса. Отметим, что Гаусс в своих "Арифметических исследованиях" предложил несколько разных способов их вычисления, но мы будем основываться на методе Дирихле.
Теорема 4. При натуральном N справедлива следующая формула;
G(N) = =
П = 1
Доказательство. Сначала напомним формулу Эйлера:
elv = COS <р + і sin ср,
478 где <р — действительное число. Записывая формулу суммирования Пуассона в комплексной форме, мы при к —> оо получим
2к
G(N)= ? /(т) + Rt
т=-2к
где
N+0,5
Nluk'
I(m)= j e2ni(^+mx)dx,R=o(^
0,5
Преобразуем интеграл 1(т). Имеем
N+0,5
1(т) = J W-TniN (A)dx =
0,5
JV(0,5m+l)+0,5 0,5mJV+0,5
Суммируя величины 1(т) отдельно по четным числам m (m = 2/) и отдельно по нечетным числам т (т = 21 — 1), получим
к ]\f ?/ + 1)+0,5 к N(i+0,5)+0,5
G(N)=Y, J e^^dy+Ye'*?- J e2^dy+R =
l=~k JV/+0,5 l~~k N{1~ 0,5)+0,5
7V(fc +1)+0,5 N(fc+0,5)+0,5
j e2vi?dy + rN J e2lti&dy + R
— TV/e+0,5 — —0,5)+0,5
oo
= J e2*iz2dz + o(N<k->")+R,
-OO
так как при |or| < y/N имеет место неравенство
+ OO
J
e2""2dz
< jfc-i/алг1'4.
kSN+a
479 Переходя к пределу при к —У оо в последней формуле для G(N), получим
со
-Op
оо
G{N) = Vn (1 + rN) J e2wiz2dz.
В частности, при N = 1 имеем
0(1)=(1+1-1) J e2*iz*dz.
-OO
Следовательно,
CW = -^SN-
Теорема 4 доказана.
Далее нам потребуется выражение характеристической функции <р(х) = <pi(x) промежутка I = [а,Ь], где О < а < 6 < 1, через функцию Ро(х)-
Определение 4. Функция <р(х) = <fi(x), заданная на отрезке [0,1],
{1, если а < X < 6,
1/2, если X = а или х = 6,
О, если X < а или х > 6,
называется характеристической функцией промежутка I.
JI е м м а 3. При X Є [0,1] справедливо равенство
<pi(x) = (b-a) + р0(х - a) ~ р0(х - Ь).
Доказательство. Обозначим через f(x) правую часть доказываемого равенства. Очевидно, при всех х ф а или Ь имеем
f(x) = р'0(х - а) - р'0(х - 6) = -1 + 1 = 0.
Следовательно, / (х) — кусочно-постоянная функция, как и функция <Pi(x). При этом точки их разрыва совпадают. Кроме того,
/(a) = b - а + ро(0) - ро(а - b) = b - а + р0(Ь - а) = b - a + ^ - (6 - а) = І.
Аналогично проверяется равенство f(b) = Имеем также
' {^г) =4 -*(tT-)-"0 (fTi)= ь-а+2р° (l^r) =
, , fa + b\
= b-a+X-2— = l=Vl (—J.
В точке X = а обе функции имеют скачок, равный +1, а в точке 6 этот скачок равен —1. Это значит, что обе функции совпадают во всех точках отрезка [0, 1]. Лемма 3 доказана.
Из леммы 3 и теоремы 1 непосредственно вытекает справедливость следующей леммы.
480 JI е м м а 4. При всех п > 1 имеет место формула
<р!(х) = (6 - a) + sn(x - a) - sn(x - b) + Еп{х)
где
ЇЗДІ <
4
4
у 1 -t- n2si
(х — a) 1 + п2 sin2 тг(х — 6)
Аналогичное утверждение имеет место и для любой кусочно-постоянной функции, периодической с периодом единица и равной полусумме своих предельных значений слева и справа в точках разрыва.
16 Лекции по математическому анализу Лекция 26
S 2. НЕРАВЕНСТВО БЕССЕЛЯ. ЗАМКНУТОСТЬ И ПОЛНОТА ОРТОНОРМИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
Начнем рассмотрение со следующего определения, предложенного Лебегом.
Определение 1. Точка Xq называется регулярной точкой функция f(x), если существуют ее левый и правый пределы при X, стремящемся кх о, а ее значение f(x о) в этой точл'е равно их полусумме. В этом случае говорят, что функция f(x) регулярна в точке
x — xq.
Очевидно, что каждая точка непрерывности данной функции является ее регулярной точкой.
Определение 2. Функция f(x), регулярная в каждой точке промежутка I, называется регулярной на этом -промежутке.
Определение 3. Периодическая функция, имеющая конечное число точек разрыва на каждом отрезке вещественной прямой и регулярная в этих точках, называется строго регулярной функцией.
Определение 4. Если периодическую функцию д(х) можно представить в виде
x
</(*) = J f(t)dt + g(a),
a
где f(t) — строго регулярная функция, то функция д(х) называется строго кусочно-гладкой функцией.
Эти определения мы будем использовать при изучении тригонометрических рядов Фурье.
Множество W = Wl всех строго регулярных функций, имеющих один и тот же период I > 0, образует линейное пространство. Справедливость этого утверждения легко проверяется.
