Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Определение 1. Введенное, выше формальное выражение вида
ь
J f(x,y)dx называется несобственным параметрическим интегра-
® '
лом второго рода с одной особой точкой X = а.
Определение 2. Если при любом фиксированном значении у E
E Y этот интеграл сходится, то множество Y называется областью
ь
сходимости интеграла и его значения g(y) = f f(x,y)dx порождают
a
функцию, определенную на множестве Y.
Подобные определения имеют место и в случае, когда особая точка находится на правом конце промежутка интегрирования X = [а, Ь], т.е. в точке b. В случае когда особая точка х — Xo лежит внутри отрезка X, еґо можно разбить на две части этой точкой а?о и рассматривать каждую часть отрезка отдельно.
Аналогичные рассуждения позволяют рассматривать несобственные интегралы С переменной особой ТОЧКОЙ Xq = Xo(Jz)1 НО здесь мы входить в детали не будем.
1
Пример. Интеграл J = f ,^x сходится на Y = [0,1] и его можно
о Vlx-Vi
вычислить.
Действительно, имеем
у 1
/dx С dx ......
0 у
456 Определение 3. Несобственный интеграл второго рода
ь
9ІУ) = J f{x,y)dx
a
называется равномерно сходящимся по у на множестве У, если для функции
У) = J /(*, y)dx s 0+
a+6
выполнено условие
Исходя из общей формулировки критерия Коши можно сформулировать его для равномерной сходимости несобственного параметрического интеграла второго рода. Но мы ограничимся формулировкой одной сводной теоремы, содержащей утверждения, важные для практических применений.
Теорема 1. Пусть функция f(x, у) непрерывна на P = XxY, где X = (а, 6], У = [c,d\. Пусть а — особая точка несобственного параметрического интеграла
о
9ІУ) = J !{x,y)dx.
Тогда справедливы следующие утверждения.
ь
1. Если интеграл f f(x, y)dx сходится равномерно HaY, то функция
а
у (у) непрерывна при всех у Є У-
2. В этом случае имеем
а о а
j9(y)dy = jdx J f(x,y)dy.
с Ь
3. Если интеграл ff(x,y)dx сходится, частная производная /у (х, у)
а
Ь
существует и непрерывна на Р, а интеграл J fy(x,y)dx сходится
а
равномерно на У, то существует д'(у), причем
ъ
д'ІУ)'= J f'y(x,y)dx.
457 Если особая точка Xo является внутренней точкой отрезка X = [о, 6], то, как было отмечено выше, необходимо отрезок X разбить этой точкой на две части и рассматривать каждый из двух получившихся интегралов отдельно. Тот же подход можно применить и в случае, кргда бесконечный промежуток интегрирования X = [а, +оо) содержит конечное число особых точек Xi, ..., хп. Тогда этот промежуток можно разбить на 2п промежутков точками t\ < < • • ¦ < <2п таким образом, чтобы на каждом отрезке вида [f5, <,+i], где s = 1,..., 2п — 1, лежала бы ровно, одна особая точка, а на промежутке [?2п,+<эо) особых точек не было. В результате получим 2п — 1 несобственных интегралов второго рода и еще один — первого.
На этом мы закончим изложение теории несобственных параметрических интегралов и займемся ее приложениями.
§ 9. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ
ИНТЕГРАЛОВ
Начнем с вычисления интеграла Дирихле D(a), называемого еще разрывным множителем Дирихле. По определению имеем
OO
, f sin ах
D(a) = J —
dx.
Заметим прежде всего, что точка х = О не является особой, так как подынтегральная функция ограничена. Очевидно, что D(O) = 0. Далее, если а > 0, то интеграл сходится по признаку Дирихле, поскольку
/
sin axdx
1 — cos at
a
2
< -. a
В этом случае возможна линейная замена переменной интегрирования вида ах = t, и тогда имеем
OO
OO
ч /1Sinax „ . f sint , „
D{a) = J ~^rd{ax) = J Tdt = D{1) =
Если же а < 0, то а = — [aj,sinax = — sin |а]х, откуда
OO
OO
D(a)=J sJ^ldx=^ f*±±
X
dx = —D.
458 Таким образом, имеем
{D при а > О,
О при о = О,
-D при а < 0.
Теперь перейдем к вычислению значения D.
Теорема 1. Справедливо равенство D = яг/2.
Доказательство. Рассмотрим параметрический интеграл д(у), где у€У = [0,ЛГ], N Є Rh
OO
, , Г е-У* sin х 9ІУ) = J ---dx.
о
Подынтегральная функция /(х,у) = e~yr sin xfx будет непрерывна всюду на P = XxYy где X = [0,+оо), Y = [О, JV], если положить
/(0,у) = 1.
Убедимся, что интеграл д(у) сходится равномерно на Y. Для этого воспользуемся признаком Абеля. Положим ar(x,y) = Smxfxy /?(х, у) = e~gy. Тогда функция /?(х,у) монотонна и 0 < ?(x, y) < 1, а
OO
интеграл J ot(x,y)dx сходится равномерно на У, поскольку а(ж,у) не о
зависит от у.
Заметим, что равномерную сходимость д(у) можно было бы установить и непосредственно из определения с помощью интегрирования по частям.
Возьмем теперь на отрезке У произвольную точку Уо Ф О и окружим ее некоторым отрезком Yg = [уо — 6, уо + $], целиком принадлежащим множеству У. На этом отрезке интеграл
OO ' OO
J fyixi y)dx = — J е~ух sin xdx
о о
сходится равномерно. Это следует из признака Вейерштрасса, по-
оо
скольку Ie-arySinxj < е~х(<Уа~6\ а интеграл J e~x(y°~6^dx сходится.
о
Кроме того, подынтегральная функция e~r!/sinx непрерывна на Ps = X X Ys. Поэтому по правилу Лейбница для несобственных интегралов имеем
