Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
a
Тогда функция д{у) дифференцируема HaY и имеет место равенство
OO
9'(у) = J f 'y{*>y)dx.
Доказательство. В силу непрерывности функции f(x,y) при всех п> а существует непрерывная на У функция gn(у) вида
п
9n{y) = J f{x,y)dx.
а
Применяя правило Лейбница для собственных интегралов, получим
п
9п{у) - J f'y{x,y)dx.
Заметим, что для функциональной последовательности gn(у) при Tl —? оо имеют место соотношения
оо схз
/п—(. оо f і
f(x,y)dx и gn(y) ^ fy(x,y)dx. а а
Следовательно, по правилу дифференцирования функциональной последовательности имеем
OO
( Iim gn{y)) = lim g'n(у), т.е. g'{y) = j f'(x,y)dx.
\n—too / n—+-OO J
а
Теорема 4 доказана.
Докажем еще две теоремы о несобственных повторных интегралах, которые потребуются нам в дальнейшем.
452 Теорема 5. Пусть f{x, у) задана и непрерывна на. P = XxY, где X = [а, +оо)., Y = [6, +оо) и /(ж, у) > О на Р. Пусть при всех
OO
у EY интеграл J f(xiy)dx сходится к функции д{у), непрерывной на
OO
Y, и при всех x Є X интеграл f f(x,y)dy сходится к функции h(x),
a
непрерывной на X.
OO
Тогда если сходится интеграл J\ = / g(y)dy, то сходится и интеграл
ь
оо
J2 = / h(x)dx, и наоборот, причем Ji = J2, т.е.
a
оо оо оо оо
Jdy J f(x)y)dx = J dx J f(x,y)dy.
b a ab
Доказательство. Будем считать, что существует Jі, так как второй случай рассматривается аналогично. Рассмотрим произвольную монотонную числовую последовательность tm, подчиненную требованиям tm > а и tm —> +оо, и натуральные числа п > Ь. Символом Jmin обозначим повторный интеграл вида
tm П
Jm,n = J dx J f(x, у) dy.
a b
Положим еще
п
9т (у) = J f{x}y)dx и hn(x) = J f{x,y)
dy.
По теореме об интегрируемости собственного параметрического интеграла имеем
n tm п
Jm,п = J dy J /(х,у) dx zz Jgm(y) dy.
Ь а ь
Далее, так как f(x,y) >0, то О < дт(у) < д(у). Поэтому справедливо неравенство
П OO
Jm,n < J д{у) dy < J д(у) dy ~ Ji.
453 С другой стороны,
tm П Ifn
Jm,п ~fdxf f {Х^У) dV~ J МЖ) dx-
При этом hn (х) > 0 и при каждом фиксированном х эта последовательность является неубывающей; кроме того, она составлена из непрерывных функций и ее предел, т.е. функция Л(х), также непрерывен. Следовательно, по теореме Дини при п —оо имеем
hn(x) h{x).
[a.tm]
Но тогда при п —> оо выполнены равенства
tm ' m ^tn
J{m) = lim Jmn= Ит I hn(x) dx = / ( lim Лп(®)) dx = I h(x) dx. n—+00 n-voo у J \n-+oo / у
a a a
Поэтому, переходя к пределу при ті —^ оо в неравенстве Jm |П < Ji, получим соотношение
Im
J(m) = J h(x) dx < Ji.
Но так как Л(х) > О, то с ростом т последовательность J(m) монотонно возрастает и ограничена. Следовательно, по теореме Вейерштрасса величина J(m) имеет предел причем I <J\. Ввиду произвольности выбора последовательности tm отсюда вытекает, что I одновременно является пределом величины
OO
^lim J Л(х) dx = J h(x) dx = J2.
Таким образом, J2 существует и J2 = / < Ji. Но тогда, меняя в проведенных выше рассуждениях величины Ji и J2 местами, одновременно получим неравенство Ji < J2- Следовательно, Ji = J2. Теорема 5 доказана полностью.
Приведем еще некоторое обобщение предыдущей теоремы.
454 Теорема 6. Пусть функция /(х, у) удовлетворяет условиям теоремы 5, кроме' условия /(х, у) > 0; но функция F(x,y) > j/(x, у) \ удовлетворяет всем ее условиям.
Тогда, утверждение теоремы 5 имеет место не только для функции F(x,y), но и для функции /(х, у).
Доказательство. Заметим, что функции
I \ F(x>y) + fix> у) ( , \ F(x' у) - f(x> у)
удовлетворяют условиям теоремы 5, но тогда ф\{х, у)—^{х, у) =Z /(х, у) тоже ей удовлетворяет. Теорема 6 доказана.
Заметим, что, вообще говоря, условия теорем 5 и б являются избыточными. Далее будет доказано значительно более общее утверждение, а для наших ближайших целей этих теорем вполне достаточно.
В заключение приведем пример, указанный Коши, в котором при перемене порядка интегрирования получаются различные значения повторных интегралов. Это связано с тем, что подынтегральная функция
П ,У) (х2 + у2)2 dx V х2 + у2 / — ду Vx2 + у2 /
имеет разрыв в точке (0,0), в частности, при подходе к этой точке
по прямым у — kx. При \к\ > 1 имеем Iim /(х, kx) = -foo, а при \k\ < 1
?-+0
имеем Iim f(x. kx) = —оо.
Но для двух повторных интегралов от этой функции справедливы равенства
і і і
dy 7Г
fdyff(X,y)d* = -f-l + y2- 4
0 0 о
11 1
dx 7Г
J dx J f(x, y)dy = J-
-f X2 4
о
Отметим, что данный пример относится к несобственным интегралам второго рода, которые будут рассмотрены в следующем параграфе. Лекция 26
§ 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА
Здесь мы сформулируем основные понятия элементарной теории несобственных параметрических интегралов второго рода и приведем формулировки некоторых утверждений, соответствующих доказанным нами теоремам об интегралах первого рода.
Рассмотрим множество P = XxY, где X = (a, b], Y С М. Пусть функция f(x,y) задана на P и не ограничена как функция от і хотя бы при одном фиксированном у E Y. Далее, пусть при любых у E У и S > О, S E (О, Ь — а) функция /(я, у) интегрируема по Риману на отрезке [a + S, 6] как функция от х.
