Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Китайцам были известны формулы для пифагорейских чисел, т. е. решение уравнения x2^-\~y2^—z^ в целых числах. Этой проблеме посвящены задачи 14 и 21 книги IX «Математики. . .». Эта книга интересна еще тем, что в ней решение квадратного уравнения производится не только обычным образом, но и численным методом, являющимся обобщением извлечения квадратного корня на случай нахождения корня полного квадрггного уравнения. Эта идея была затем разработана китайскими математиками далее и наиболее полное развитие получила в трудах математиков XIII — XIV вв. Последние задачи книги IX показывают, что измерением расстояний до недоступных предметов, а также их размеров занимались в древнем Китае еще с давних пор. Это также было излюбленным занятием^средневековых вычислителей.
Обзор содержания трактата свидетельствует о традиционном, практическом принципе расположения материала по книгам: измерение полей, установление эквивалентности между различными видами зерновых культур, распределение доходов, оценка земляных работ и т. д. Происходит это потому, что древние математические тексты предназначались для чиновников различных ведомств, которые должны были уметь распределять и подсчитывать налоги, измерять земельные участки, вести расчеты при строительстве и т. п. Из обзора также видно, каким образом обрабатывался математиками этот материал, дополняясь по принципу единства математического метода задачами, не носящими практического характера.
3 8« И| Береэкина
33
Заметим, что комментарии Лю Хуэя носят самостоятельный характер и отличаются своей оригинальностью и глубиной от других более поздних комментариев, принадлежащие Ли Чунь-фэну.
4. Сочинение Лю Хуэя по практической геометрии
Лю Хуэй, математик III в. н, э,, известен как основной комментатор «Математики в девяти книгах». Комментарий Лю Хуэя имеет самостоятельное значение: в нем содержатся оригинальные для китайской математики идеи предела, методы геометрической алгебры, десятичные дроби и т. д. [110, с. 62 и след.]. «Математический трактат о морском острове» («Хай дао суань цзин») [17,133], вошедший в математическое «Десятикнижье» третьим по порядку вслед за «Математикой в девяти книгах», также был написан в качестве дополнения к «Математике», именно к трем ее последним задачам из области практической геометрии (см. далее ч. V). Он состоял из задач практической геометрии и был оформлен сначала в виде дополнительного десятого цзюаня древнего сочинения. Заголовок этого дополнения Лю Хуэя, подобно другим заглавиям девяти книг «Математики», обозначал метод решения: чжун-ча, т. е. «двухслойная разность» (смысл термина пояснен далее). В дальнейшем, однако, задачи Лю Хуэя были выделены в самостоятельный трактат, который и получил название по первой задаче, составленной Лю Хуэем. В ней измеряется высота морского острова и расстояние от наблюдателя до него. В математическом «Десятикнижье» трактат Лю Хуэя помещен с комментарием Ли Чунь-фэна, который представляет собой вычисления по предложенным автором трактата правилам.
В дошедшем до нас варианте «Математического трактата о морском острове» содержится всего девять задач, каждая из которых снабжена ответом и правилом решения, представляющим собой алгоритм для искомых величин в общем виде. Весьма возможно, что в первоначальном тексте были чертежи, но теперь они отсутствуют. (Хорошую реконструкцию чертежей см. в [133].) По языку текст Лю Хуэя вполне идентичен тексту классической «Математики в девяти книгах», что понятно. Каждая задача начинается с типичного оборота «Имеется. . .» (цзинъ ю . . .), с которого начинаются все задачи «Математики»; терминология вполне аналогична употребляемой в «Математике». Однако Лю Хуэй предлагает еще специальные новые термины, с помощью которых он выражает свой метод решения данного класса задач. Формулировка задач достаточно лаконична, задачи составлены по мере их усложнения.
Для решения задач практической геометрии в «Математике в девяти книгах» используют подобные прямоугольные треугольники. Для решения задач более общего характера Лю Хуэй пользуется подобием произвольных треугольников, которое он вывел
34
из подобия прямоугольных треугольников, пользуясь при этом алгебраическими методами.
Метод чжун-ча был заимствован из древнекитайской астрономии, где он употреблялся для определения высоты Солнца над горизонтом. Свою первую задачу Лю Хуэй сформулировал подобно астрономической задаче, как она описана в «Математическом трактате о чжоу-би» (см. о первой задаче Лю Хуэя подробно в ч. V). Древняя астрономическая задача была поставлена так, что решение лишь приближенно давало значения искомых величин. Лю Хуэй поставил задачу точно, и его математическая задача имеет точное решение. Лю Хуэй обобщил такую задачу, рассмотрев различные виды измерений на местности.
В «Математике в девяти книгах», в ее трех последних задачах, представлены три основных вида измерений на местности: при помощи шеста, при помощи угольника 4 и при помощи веревки. Все эти типы измерений проведены и у Лю Хуэя. Из девяти задач трактата в задачах 1 и 2 измерения проводятся с помощью шеста, в задачах 4, 5, 7—9 — с помощью угольника, в задачах 3 и 6 — с помощью веревки. Кроме того, Лю усложнил задачи, тем, что проводил наблюдения с несколькими измерениями. В его задачах употреблены пара шестов (чжун бянъ), пара угольников (си цзюнъ) и проведено несколько наблюдений с помощью соединяющей шесты веревки (лянъ су). Таким образом, производится от двух до четырех наблюдений. Чаще всего проводятся измерения при помощи угольника. Большая часть задач Лю Хуэя с тремя измерениями: два измерения в задачах 1, 3, 4; три измерения в задачах 2, 5, 6, 8, 9; четыре измерения в задаче 7. Эти древнекитайские задачи практической геометрии разделяются также по объектам измерения: вычисляется либо высота (острова, сосны, пагоды), либо ширина (стены города, реки), либо глубина (ущелья, ямы). Чаще всего в задачах трактата Лю Хуэя измеряется ширина. Исходя из указанных параметров, типичной задачей оказывается задача 8: в ней определяется ширина переправы при помощи угольника, при этом производится три измерения. Напомним, что в задачах «Математики в девяти книгах» производится одно измерение при помощи одного инструмента и рассматривается одна пара подобных прямоугольных треугольников, определяется одна неизвестная величина. У Лю Хуэя в первых трех задачах находится две искомых величины, это образцовые задачи на метод чжун-ча в его прямом значении. Но другие задачи, в которых определяется лишь одна величина, свидетельствуют о том, что этот метод понимался более широко. Упомянем, что И. Миками понимал под термином «чжун-ча» двойное отношение пропорциональных сторон, тогда как Цянь
