Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Книга IV «Шао-гуан» знакомит нас с древнекитайским методом извлечения квадратных и кубических корней, который возник благодаря применению формулы разложения квадрата и куба на счетной доске, где обычно производились вычисления. В методе содержится возможность обобщения на случай решения полного квадратного и кубического уравнений и, шире, начала так называемого метода Руффини—Горнера (см. подробно об этом в ч. IV).
В начале книги IV находятся задачи, содержащие алгоритм деления на дробь, данные в своеобразной геометрической форме, относительно которых можно сделать различные суждения (см. об этом в ч. III). Здесь же мы встречаемся с «египетскими» аликвот-ными дробями, долями единицы, но не с египетскими приемами вычислений.
В книге V «Оценка работ» («Шан-гун») вычисляются объемы геометрических тел: параллелепипеда, полных и усеченных пирамиды и конуса, цилиндра, обелиска и некоторых призматических тел. Сферы здесь нет, хотя по последним задачам книги IV и VI
31
можно видеть, что ее объем вычислять умели — еще одна демонстрация независимости книг друг от друга.
Вышеуказанным задачам предшествуют задачи на определение объемов различных гидротехнических сооружений вместе с расчетами рабочей силы, требующейся для выполнения строительства объекта, в зависимости от разного рода условий и т. п. Аналогичные задачи содержатся в вавилонских текстах, сравнение с которыми позволяет отличить и в этой книге более древнюю часть от добавлений, сделанных более поздними составителями.
Книга VI «Пропорциональное распределение» в своей первой части по содержанию перекликается с книгой III: в ней также помещены задачи на пропорциональное деление и простое и сложное тройное правило. Но условия этих задач более сложные, чем в книге III, и требуют иногда довольно больших вычислений. Помимо этого книга VI содержит еще ряд арифметических задач, например так называемые задачи на совместную работу, задачи на прогрессии и др. В последних мы обнаруживаем решение, по идее аналогичное решению одной вавилонской задачи подобного рода. В этой же книге мы встречаемся с примерами округления чисел, которое отчасти применялось еще в книге V.
Книга VII «Избыток—недостаток» и книга VIII «Правило „фан-чен"» могут быть названы в противовес предыдущим алгебраическими. Это наиболее красивые книги сочинения. Содержание их математически однородно, вероятно, они относятся' к более поздним частям трактата. Например, книга VIII содержит задачи, которые сводятся к системам линейных уравнений, решенных с помощью правила «фан-чен», по своей идее довольно близкого к методу Гаусса. Рассматриваются только совместные системы, корни только положительные, и системы составляются не более чем из пяти уравнений. Среди них есть неопределенная система пяти линейных уравнений с шестью неизвестными, причем приводится минимальное положительное целое решение.
В этой же книге мы встречаемся с другим замечательным открытием древности: отрицательными числами, которые получаются уже при приведении системы к каноническому виду, а также при преобразовании первоначальной матрицы к треугольной.
Если книга VIII является вершиной, которой достигла в своем развитии математика Китая к началу нашей эры, то книга VII позволяет взглянуть на сам процесс этого развития: она показывает «лабораторию» древнего китайского математика.
Книгу VII можно разделить на две части, первая из которых посвящена задачам, сводящимся к одному частному виду системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, когда коэффициент при у равен —1. Вторая часть состоит из разнообразных задач, решенных с помощью метода двух ложных положений. В обоих случаях даны правила, конструирующие искомые величины из таблиц, составленных из двух пар чисел, взятых или же полученных из условия задачи.
32
Разработка^этих двух типов задач в виде некоторого табличного способа, иначе говоря, принцип объяснения разных правил под одним заголовком, показывает характерную особенность и уровень математического мышления древнего китайского математика. Для китайской математики свойственно ярко выраженное вычислительно-алгоритмическое направление. Каждый вопрос математик, старался свести к правилу, состоящему из последовательного выполнения некоторого числа шагов. Для производства вычислений в древнем Китае пользовались счетной доской. Описания ее и правил действий с целыми числами в трактате нет, поскольку, вероятно, доска была широко известна и правила действий на ней объяснялись устно. Числа на доске изображались с помощью счетных палочек по определенным принципам (см. подробно далее ч. II). Таким образом, китайский математик, для которого счетная доска была своеобразной счетной машиной, стремился решение проблемы выразить в виде общего правила, четко определяющего ход конструирования искомой величины.
Укажем, наконец, на книгу IX «Соотношение.между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике» («Гоу-гу»), которая содержит геометрические задачи, решаемые на основании теоремы Пифагора и свойств подобных прямоугольных треугольников. Книга интересна тем, что здесь алгебра систематически применяется к решению геометрических задач.
