Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, более ранние тексты по математике не дошли^до нас, и «Математика в девяти книгах» "является, по существу,^первым собственно математическим сочинением из ряда классических в"древ-нем Китае, не считая трактата о^чжоу-би» (гномоне), "содержащем теорему Пифагора. ' '
Прежде чем рассмотреть содержание «Математики в девяти книгах», остановимся на форме и характере изложения материала.
28
Текст состоит из формулировок условий задач, которые сопровождаются ответами. После каждой задачи или группы аналогичных задач обычно следует правило их решения, чаще всего описывающее в общем виде формулу для вычисления искомой величины (например, формулы площадей в книге I, формулы объемов в книге V и др.), или общий алгоритм решения данного типа задач (например, правило «избыток-недостаток» в начале книги VII, правило «фан-чен» в книге VIII и др.). Общее правило может помещаться перед данной группой задач, и тогда^ обычно, хотя и не всегда, после каждой такой задачи дается~еще~«числовое» правило, т. е. указание, в каком порядке и какие производить действия над заданными числами, чтобы получить искомую величину (например, правила к задачам первых половин книг II, III, IV, как видно, более древних частей текста сочинения). Но даже в таких частных правилах видно стремление возможно более общим способом описать решение задачи. В тексте нет объяснений, как получены правила, почему выбирается тот или иной ход решения, нет доказательств, пояснительных чертежей, определений, знаков препинания (рис. 2). Все это осложняет выяснение картины математических знаний, которыми располагали древние китайцы.
Сочинение состоит из девяти довольно самостоятельных книг (чжанов или цзюаней — свитков). Каждая книга представляла собой отдельный свиток и не была органически связана с другими. Она должна была содержать в себе весь материал, посвященный какой-либо теме, и иметь до известной степени завершенный, законченный характер.
Рассмотрим содержание трактата по книгам.
Книга I «Измерение полей» («Фан-тянь») содержит задачи на вычисление площадей полей- различной геометрической формы: прямоугольных, треугольных, в виде трапеции, круга, сегмента, сектора и кольца. Площади прямолинейных фигур вычисляются по правилам, совпадающим с общеизвестными. Площади круга, сектора и кольца определяются при п=3. Площадь сегмента вычисляется приближенно. Любопытно, что для подобного рода древних текстов (также египетских, ^вавилонских) характерно отсутствие "формулы для площади параллелограмма. Видимо, такая форма земельного участка была неестественной. Вряд ли также часто встречается в земледелии кольцеобразное поле. Однако в^обыденной жизни^круг и~его^части^применялись, требовалось вычисление ^площадей таких фигур, и потому эти правила^также были "сформулированы под видом определения~площадей «полей» в первой книге сочинения.
гСтороны полей задаются как целыми, так и дробными числами. Поэтому вслед за^первыми задачами, устанавливающими, по существу, соотношения между основными единицами длины и площади, идут^задачи на действия "с дробями: их ^сокращение, сложение, вычитание, деление и "умножение; ^только Лзатем производится измерение'полей. При'сокращении дробей общий "наибольший"де-
29
4> Ж а
Ъ Ъ ? ^ ' *
а a * je ?
i i Паи w
el|BA|0A|0 А?1 -t
= л и + =.
а - а
л. # а л
i 1 4 ?
а и Sa
Щ $ f ?
fr
i-
§1
=« t 1
Рис. 2. Первая страница книги VII «Математики в девяти книгах» из обычного издания, фотоофсетной копии 1937 г. с издания периода Канси
литель числителя и знаменателя находился по алгоритму, совпадающему с евклидовым. Последний описан в «Началах», как известно, в геометрической форме. Китайский алгоритм в отличие от него дан в чисто арифметической формулировке. Деление дробей в книге I производится путем приведения их к общему знаменателю. Заметим, что интерпретация деления отлична от представления других действий (см. об этом подробно в ч. III).
30
Текст книги I помогает выяснить ряд интересных вопросов, относящихся к формированию и развитию основных математических понятий: числа, площади (см. далее ч. III и V). , В книге И «Соотношение между различными видами зерновых культур» («Су-ми») помещены задачи, в которых определяется по трем заданным величинам четвертая пропорциональная, т. е. задачи на так называемое тройное правило. Задачи, основанные на пропорциональной зависимости, т. е. задачи на простое и сложное тройное правило, на пропорциональное и обратно пропорциональное деление, занимают значительную часть сочинения, они встречаются и в других его книгах. Что касается книги II, то здесь следует сделать два замечания. Первое относится к первой части книги II, состоящей из задач указанного типа, к их общему и частным правилам решений, из которых следует, что деление на дробь производилось по обычному алгоритму, а не по правилу, изложенному в книге I.
Другое замечание относится ко второй части книги, состоящей из задач 32—36 на определение стоимости покупаемого предмета. Они рассматриваются как задачи на деление: сначала задачи сводятся к делению на целое число, затем на дробное, а далее задача обобщается и сводится, вообще говоря, к системе трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Однако решение ее единственное и находится также делением: подробнее об этом говорится в ч. III. Эти задачи были, вероятно, помещены в книгу II позже, так как они не отвечают ее заголовкам и включены потому, что нахождение искомой величины х делением х=А/п основано на пропорциональности: х : 1=А : п. Действительно, в книге III «Деление по ступеням» («Чуй-фэнь»), которая начинается задачами на деление пропорционально и обратно пропорционально заданным числам, содержатся задачи на простое и сложное тройное правило. В сопровождающих правилах специально указывается случай умножения А на 1.
