Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
43
торой имеется также вавилонский вариант. Эта задача интересна тем, что в ней взаимодействуют с разностью прогрессии, вычисляемой фактически как тангенс угла наклона прямой, определенной линейной зависимостью членов арифметической прогрессии (см. далее рис. 9). Берется разность некоторых двух усредненных членов прогрессии и находится ее отношение к числу членов, содержащихся в данном промежутке, которое может быть и дробным [50, с. 555—557]. Чжан Цю-цзянь владеет подобными методами, он составляет задачу 18 первой книги, несколько изменив условия более древней задачи.
Таким образом, мы убеждаемся, что автор данного трактата, как и Сунь-цзы, активно пользовался материалом классической «Математики в девяти книгах», но в отличие от Сунь-цзы стоял на других методологических позициях. Эти его математические вкусы ярче всего выразились в арифметических вопросах.
Новые задачи Чжана отличаются от прежних тем, что при их решении пользуются вполне отчетливым понятием разности прогрессии, формулой суммы п членов ее и даже понятием 8п1п «усередненной нормы», которая помогает задачу на определение неизвестного числа членов прогрессии свести к решению не квадратного, а линейного уравнения. Это задачи 22 и 23 первой книги, их форма традиционна (ткачиха работает со^ скоростью, измеряемой прогрессией); задача 1 средней книги и последняя задача первой книги.
В отличие от Сунь-цзы, который строил на метрологической основе систему десятичных дробей, Чжан Цю-цзянь отказался от употребления последних. Он предпочитал рассматривать метрологические величины, которые для Сунь-цзы были десятичными дробями (если, разумеется, шкала мер была десятичной), как обыкновенные дроби. Например, 1 цзииъ 9 ланов (задача 29 последней книги) [51, с. 57] — это 25/16 цзиня, так как 1 цзииъ =116 лашм (меры веса). Поэтому при выражении этой величины и аналогичных ей в других задачах Чжан употребляет тот же термин приведения к общим долям (тун фэнъ), что и для обыкновенных дробей.
Чжан Цю-цзянь придает большое значение учению об обыкновенных дробях. Его трактат начинается с задачи на умножение и деление дробей. Быть может, к подробному разъяснению этих двух операций его побудил пример Сунь-цзы, который рассмотрел два первых действия, сложение и вычитание дробей. Напомним, что все операции с дробями были описаны в «Математике в девяти книгах». Однако еще в европейском средневековье эти дайствия считались непреодолимо трудными для обучавшихся математике. Возможно, и в древнекитайской математической литературе также потребовались дополнительные разъяснения, которые и произвели в своих сочинениях Сунь-цзы и Чжан Цю-цзянь. В задачах на дроби Чжан Цю-цзянь производит умножение и деление дробей, гораздо более сложных, нежели в «Математике». Его дроби отвлеченные и правило деления современное, отличное от описанного в «Математике». Он не приводит дроби к общему знаменателю, с тем чтобы
44
затем делить их числители, но умножает на перевернутую дробь, как в дальнейшем поступали многие средневековые математики в странах ислама и Европы. Поэтому историки математики высоко оценивали примеры деления дробей, приведенные Чжаном, пионером этого усовершенствования. Задачи расположены по мере усложнения, и первые три представляют умножение целого числа и дробного (смешанная дробь) на дробное, в том числе и на сложное дробное число, у которого дробная часть составлена из двух дробей. Следующие три задачи аналогично представляют деление дробного числа, в частности сложного дробного, на целое и дробное число.
О дробях и их природе древний автор рассуждает еще в предисловии. В первых строчках он пишет: «Тот, кто изучает [искусство] счета, не опасается, что трудными окажутся умножение и деление дробей, но боится, что трудным будет приведение дробей к общим долям». Здесь же Чжан разъясняет, как при делении целых чисел следует «составлять» дробь из имеющихся на счетной доске чисел, если при делении будет остаток. В качестве числителя берется остаток от делимого, в качестве знаменателя — делитель. Это то самое пояснение, которого не хватало читателю «Математики в девяти книгах», когда он в ней встречался с фразой: «Объедини делимое и делитель в одно [число]». Кстати, эта фраза также часто встречается в трактате Чжана, а Сунь-цзы, как было отмечено выше, ее видоизменил. Далее Чжан пересказывает алгоритм попеременного вычитания, так называемый алгоритм Евклида, для нахождения общего наибольшего делителя двух чисел, который был изложен в «Математике». Далее в предисловии сказано о смысле термина тун фэнь ней цзы как обратного процесса превращения
смешанного числа 4у в неправильную дробь —у—.
^^Таким образом, после классической «Математики», в которой были представлены две тенденции в развитии древней математической мысли в ее начальной стадии, Чжан Цю-цзянь и Сунь-цзы оказались выразителями каждой из них. Чжан развивал исчисление обыкновенных дробей как пар. Сунь-цзы пытался приблизиться к области действительных чисел с помощью метрологических десятичных дробей. В рамках официальной литературы были выражены два эмпирических подхода к обоснованию числовых областей. Что касается развития вычислительного искусства эпохи автора указанного трактата, то следует заметить, что в тексте мы находим приемы быстрого счета. Например, в задаче 16 средней книги в частном получается дробь и производится ее сокращение так: дробь 135/720 удваивается, а затем сокращается на 10, далее на^9 [51, с. 44-45].
