B-CDMA: синтез и анализ систем фиксированной радиосвязи - Архипкин В.Я.
ISBN 5-88405-038-0
Скачать (прямая ссылка):
Теперь важное замечание: результаты, полученные в разд. 1.1, показывают, что условная плотность по сравнению с безусловной сужается. А это увеличивает надежность любых апостериорных измерений, поскольку сужается область неопределенности. И если Y —> X (хотя бы в смысле среднеквадратичной сходимости, что влечет сходимость по вероятности), то условная плотность вероятности сходится к многомерной дельта-функции. Поясним сказанное в скалярном (w = l) гауссовом варианте при коэффициенте корреляции г -> 1 (случай жесткокоррелированных величин, когда ст2 = ст2 (1 - г2) —» 0 при г -> 1). Тогда в пределе получаем:
КУ/Х):
1 ехр 1 ОуХГ
/— -Jlna 2а2 { 0X
\ L8 / Л
яхУ _ _ X .-JL
ау) Vа* °У J
\2
— у
OyX
¦у
(1.35)
Отсюда следует, что входные величины х и у необходимо нормировать сред-неквадратическими отклонениями ах и ау, что всегда делается практически (системы с шумовыми автоматическими регулировками усиления - 1ПАРУ). Кроме того, в скалярном варианте именно использование условных плотностей вероятностей математически приводит к компенсации помех как операции взвешенной разности помех со стремящейся к нулю результирующей мощностью ст2 при г —> 1 и Gx -> Oy. Выражение для многомерной условной плотности векторов (Y, X) с матрицей (1.33) имеет вид: ГЛАВА 1 СИН
= exp|-I(7-Z)T(Kyy-KyxKjKxyP(Y-Z)^.
Z = ту + В(Х - тх), 5 = KyxKj, Ni=Jnl, N2=Jnl, (1.36)
D'] = Kyy - KyxKjKxy, X
где ту и тх - сигнальные векторы средних значений (у) и (х).
Размерность составного вектора у равна Ni. Количество активных пунктов г,де равно N, в каждом из которых векторы уі имеют размерности и,. Аналогично есть размерности векторов X1 при числе пассивных пунктов L. Далее средние значения помех полагаем нулевыми (тх = ту = 0), но формальная замена их на сигналы позволяет не только проанализировать обработку полезного сигнала (ту = S), но и учесть просачивание паразитного сигнала через опорные пункты (тх = S).
Обратная матрица Dсвидетельствует о сохранении нормировки, а разность А у-Bx с матричным весом В указывает на наличие компенсации при отсутствии т е каких бы то ни было «обратных» связей, т.е. связей между остатком и опорными це, колебаниями, ибо отсутствует всякая корреляция между у-Bx их : ра
(х(у - Bxf ) = -((у- Вх)хТ ) = Kyx- KyxK-JcKxx = Kyx-Kyx= 0 .
эле ны
Kl
эл1
Иными словами, остаток компенсации у-Bx ортогонален какх, так и Bx, т.е. процессы л; и у-Bx являются взаимно обеленными. В случае жесткой корреляции (у —»х) происходит идеальная компенсация с нулевой остаточной дисперсией, матрица К состоит из единичных блоков, условная плотность стремится к многомерной дельта-функции, которая в прямоугольной системе координат (после орто-гонализации) равна произведению дельта-функций (Ni =N2=N, К = L):
NK
/(7/^)^5(7-*) = !"!5^.-^)' (1-37)
1=1
Это сразу приводит к сигулярности обработки и к отсутствию ошибок измерения. Наличие пассивных пунктов позволяет получить дополнительную информацию о помехах активных пунктов. Следовательно, использование многомерной условной плотности f(Y/X) в принципе позволяет описать совместную оптимальную обработку информации обобщенной АПС, которая существенно зависит от свойств квадратной матрицы К размера (Ni +N2)2, способа разбиения матрицы К на блоки в зависимости от числа и свойств активных и пассивных пунктов и т.д. Особенно важно однозначно определять весовую обратную матрицу, что не является тривиальной задачей. Самое простое решение получается в том случае, если воспользоваться основным свойством обратной матрицы, матричные блочные элементы которой обозначим через Djl. Тогда имеем при произвольном разбиении исходной матрицы К на блоки Kij систему матричных уравнений: "ЛАВА 1 су|НТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ РАДИОСВЯЗИ B-CDMA
31
KK-1 =
А,
д
пт J
7 о... о
о о... і
(1.38)
KR-' =
% K12^ Га, A2 (Е
\К2\ K22 у 1А, А 2 J ,0
где E и / - единичные матрицы (по главной диагонали единицы, все остальные элементы нули), а 0 - нулевые матрицы. Последовательное исключение переменных приводит к отысканию неизвестных Djl. Например, при п = т = 2 имеем:
KnDu+Kl2D2i=I,
KjlDlJ+Kj2D2j=O, (1.39)
Ai = (ки - к12к22к21у\
т.е. получаем сразу искомое D~l =D11. При четном разбиении (п = т = 2N, N= 1,2,...) целесообразно производить укрупненное разбиение. Например, матрицу К размера (4x4) разбить сначала на четыре укрупненные подматрицы (2x2) с «новыми» элементами K'tj(i,j) = 1,2, и использовать затем разбиение с п = т = 2 .
1.3.2. Адаптивные оптимальные алгоритмы выделения сигналов B-CDMA-4G
Рассмотрим теперь центральную проблему оптимального пространственно-временного обнаружения составного вектора сигнала S, принимаемого активными пунктами на фоне узкополосных гауссовых помех Y с учетом вектора помех X от пассивных пунктов, т.е. проблему синтеза оптимальной объединенной АПС обнаружения. Учитывая формулу (1.36), для обобщенного отношения правдоподобия получаем выражения
д _ f(X-S, X) _ /(Y-SjX) f(Y,X) /(Y/X)
