B-CDMA: синтез и анализ систем фиксированной радиосвязи - Архипкин В.Я.
ISBN 5-88405-038-0
Скачать (прямая ссылка):
Ниже рассматриваются только действительные сигналы и помехи, хотя методы классической радиотехники рекомендуют использовать комплексные обобщения. Однако в рассматриваемых задачах комплексное усложнение модели эффективно только при линейных преобразованиях и совершенно неоправданно при отыскании многомерных статистических характеристик, а также при нелинейных преобразованиях. Поэтому далее будем пользоваться действительной формой модулированного колебания:
x{t) = ^(0cos[cor + 1)(0 + v(0 + ф] = ДОсоб Ф(0- (1.1)
Здесь до = АО+^(0+ч>(0, Л(0 = 2>,(0, v(0 = ?v,(r,0, 4 = ?,
' J і
где Aq - амплитуда исходного гармонического колебания; t,(t), г|(ґ) - случайные стационарные нормальные шумы; ц/(/), v(/) - детерминированные функции; ф - начальная фаза, часто распределенная равновероятно. Isinn I l.<J Ui ¦ і nifim
Любая из упомянутых функций может быть суммой произвольного числа компонент, связанных функционально или статически. Число практически важных случаев (сигналы радиосвязи, оптические и т.п.) велико, и они настолько разнородны, что целесообразна постановка задачи в общей форме.
Процесс (1.1) описывает широкий класс реально используемых сигналов и помех, поскольку может быть стационарным и нестационарным, гауссовым и негауссовым, непрерывным и импульсным (если под Ao понимать функцию, равную нулю на некоторых случайных или детерминированных интервалах времени). Сначала целесообразно изучить наиболее общие статистические характеристики скалярного процесса (1.1). Векторные обобщения формально позволяют включить и случай пространственных флкжтуаций, однако из методических соображений удобнее начать с процесса (1.1), который будем называть амплитудно-фазомодулированным (АФМП), или с рассмотрения аддитивной совокупности произвольно модулированных АФМП на фоне собственного шума g(t):
z(t)=ixocosФр(о+g(o, g(o=X>*(o, (1.2)
P=1 к
где все P процессов могут быть произвольно связаны между собой, но статистиче-
N
ски не зависимы от шума g(t). Найдем совместное Q = ^jMn -мерное распределе-
Л=1
ние вероятностей (ДРВ) векторной совокупности Z = (Zn) = (Z1,..., Zn) с векторными элементами Zn =(Z1), которые состоят из случайных величин
z/ - Zn (^) = Jd Apn (tmn )cos ФРп (tmn) + g„ (tmn) = ? As cos Ф5 + g„ (1.3)
Pn=I K
s = (/>„>»»„), p„=\,pn, mn - \,Mn, I = (n,mn), n = \,N.
Полученные величины удобно интерпретировать так: 1) N есть число пунктов наблюдения (баз или взаимодействующих объектов связи), на которые поступают величины Z/, равные сумме отсчетов разных по количеству Pn процессов; 2) индекс т„ учитывает, что время наблюдения процессов (взятия отсчетов) может быть различным, как и размерность Mn векторов Zn в каждом пункте; 3) составной индекс S состоит из пары чисел рп и тп\ 4) вектор отсчетов времени обозначим T(Tn) = (T1, ...,Tn),
Найдем сначала ?-мерную характеристическую функцию: Є(со) =< exp[/Zco] >, (1.4)
где косыми скобками обозначено усреднение по множеству всех случайных величин, от которых зависит Zn. Подставляя в (1.4) формулу (1.3) и используя известное
разложение exp(iAcos0) в ряд по функциям Бесселя 1к{х) первого рода, после преобразования получим: І ІІЛРМ '
Є(щ) = 0в(щ)П Z ^(П^'М^РО'ІВД))»
\ S S I .
N Mn Pn N Mn Pn N
ГМІПГЬ I-IZIj Q=Hkp. ^1^
S л=1 =1 pn =\ S И »,=1 P1=I Л=] S
где 0g (со) есть Q-мерная характеристическая функция шума g(t); nZ означает
S Ks
^-кратное суммирование. Искомое ?-мерное ДРВ получается применением к (1.5) обратных трансформант Фурье, причем сначала удобнее записать Iifyc) на интервале (-л, л) в интегральной форме. Тогда после преобразования имеем:
f(Z,'t) = {2л) qH Z і"' +
S KiJ=-® -тс \ л р„ S I
1 °°
хехрН?ВД)ПА5, 8(х) = — \exp(±iax)dx. (1.6)
S S 2л ^00
Отсюда следует, что плотность является существенно негауссовой и нестационарной (зависит от времени). Более простая формула для ДРВ получается заменой = As sin xs и использованием фильтрующего свойства дельта-функции, что сокращает количество интегралов до q - Q:
I(ZJ)=CT п Z YldKs J-K
S Af5=O S \ S -1
At (Z,-Si-!,У*)
Pn-1
]
Pn-1
2
As-(Z^gl-1Zys)
A, =I
2 dys). dK = Г ' (1.7)
1 Ks [ 1,
где T/c(x) - полиномы Чебышева первого рода. Предполагая статистическую независимость процессов, модулирующих фазы АФМП в (1.3), от процессов, модулирующих амплитуды АФМП и аддитивных шумов, после усреднения и использования формулы Эйлера cosa = (е'а + е~'а)- 2Ч, получаем:
Псовед) = 2"'Z(exp(Uj)) = 2~?Z(exP0^j)>ВД), I = 2?, (1.8)
S / J=I J=I
где Ij - элементы одностолбцовой матрицы Lcq строками, равной произведению матриц К и Ф. Матрица К имеет q столбцов и / строк, причем строки содержат одни и те же элементы KflJrf^, которые различаются только знаками. Например, в первой
строке матрицы К все элементы положительные, а в последней 7-й строке все элементы отрицательные. В группе из q строк (после первой) содержится только по одному знаку минус, во второй группе из I4 строк содержится по два знака минус и т.д. Матрица Ф является одностолбцовой с q строками, элементы которой равны: Фч =OVj + V, (Г ) + ф7+л, (0) = ^+tI1(O)' VU =o>,fy +V,(',) + <Ря
