Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Производная на краях интервала M1M2 обращается в нуль
как при переходе к однородным потокам, так и в тех случаях, когда точки M1 и M2 соответствуют максимуму или минимуму скорости. При этом эпюра скоростей должна иметь в рассматриваемом интерес
вале точку перегиба, где = 0, и применение формулы (21) § 94
для длины I становится невозможным. Возникшую трудность легко обойти, если заметить, что в этом случае эпюра скоростей близка к прямой линии повсюду за исключением областей, прилежащих к краям интервала. Такой характер эпюры скоростей позволяет счи-т чпь осредненные движения в отдельных слоях подобными при любом закон" дробления потока на слои толщины I и, в частности, на слои одинаковой толщины, так что I не будет зависеть от у. Формула касательного напряжения турбулентного трения при этом сохранит ранее указанный вид (22) § 94:
Рис. 204.
скорости на оси
следа,
Voo-
о/Е
А =р/2
(ди \а
UjJ =
ди_ j
ду I'
ди
W
(101)
с той лишь разницей, что символ полной производной заменен на символ частной производной, гак как, аналогично случаю пограничного 854
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИ1-
(ГЛ. ІХ
слоя, вдоль струи (при изменении абсциссы л;) поле скоростей деформируется. Пользуясь близостью эпюры скоростей к прямой линии, можем в выражении (101) коэффициента турбулентного обмена А произвести приближенную замену
ди и2 — Щ ду ~~ Ь
и положить
ІІЙ2— «1 I
(102)
;р/2 IiOJj (103)
где b = M1M2—ширина области турбулентної о перемешивания. Возникающая при этом на краях области ошибка несущественна, так как в выражении турбулентного трения (101) величина А умножается
на обращающуюся на краях области в нуль. Таким образом,
коэффициент турбулентного обмена в задачах свободной турбулентности может быть принят постоянным по сечению, т. е. не зависящим от у (но, вообще говоря, зависящим от х, т. е. переменным вдоль течения). Принимая постоянную по сечению толщину слоев I пропорциональной размеру области обмена Ь, окончательно получим следующую общую для большинства задач теории „свободной турбулентности" формулу коэффициента турбулентного обмена:
Л = kpb J и2 — U1I (104)
где k — некоторый одинаковый для всех рассматриваемых движений постоянный коэффициент пропорциональности; величины b и | и2 — U11 меняются в общем случае от сечения к сечению и представляют неизвестные функции координаты х, отсчитываемой вдоль по течению.
Гипотеза постоянства коэффициента турбулентного перемешивания неоднократно применялась в задачах турбулентного движения в свободной атмосфере, в океанах и реках. Для случая турбулентного движения жидкосіи в аэродинамическом и тепловом следе та же гипотеза была отчетливо сформулирована еще в 1938 г. Б. Я. Труб-чиковым, 1 принявшим А за постоянную величину, не зависящую ни от х ни от у. Как далее будет показано, такое допущение действительно верно для турбулентного следа, но непригодно, например, для струи. Формула, аналогичная (104), была предложена в 1942 г. Л. Гірандтлем, 2 исходившим из соображений, отличных от использованной нами гипотезы подобия. Первые применения новой формулы Прандтля были выполнены Гертлером. 3
1 Ь. Я. T р у б ч и к о в, Тепловой метод измерения турбулентности в аэродинамических трубах. Труды ЦА1 И, вып. 372, Москва, 1938, стр. 16.
2 L. Prandtl, Beuierkungen zur Theorie der freien Turbuienz. Zeitschr. fur Angew. Mathem. und Mech. Bd. 22, H. 5, 1942, S. 241.
3 H. G or tier, Berechnung von Aufgjben der freien Turbuienz auf Grund eines neuen Naherungsansatzes. Zeitschr. tur Angew. Math, und Mech., Bd. 22, H. 5, 1942, S 244. § 102]
свободная турбулентность"; плоская струя
657
Остановимся на некоторых простейших применениях формулы (104). Рассмотрим прежде всего пример плоской турбулентной струи, бьющей из бесконечно тонкой щели в безграничное пространство, затопленное той же неподвижной жидкостью. Для дальнейшего существенно, что источник плоской струи представляется бесконечно тонкой щелью. Такая схематизация упрощает решение, так как, благодаря отсутствию характерной длины (шприцы щели) в граничных условиях, задача, аналогично тому, как это имело место в теории ламинарного слоя (§ 85), может быть сведена к решению одного обыкновенного дифференциального уравнения, взамен сложной системы уравнений в частных производных, к которой сводится общая постановка задачи.
Рассматривая область струи, где продольная осредненная скорость и(х, у) не равна нулю, как „пограничный слой" (на рис. 205
сраница этой области в обычном для теории пограничного слоя смысле показана пунктиром), будем считать давление постоянным вдоль сзчений струи, а так как давление в затопленном пространстве вне гтруи повсюду одинаково, го и одинаковым во всей области течения.
Уравнения движения примут вид, аналогичный (44) § 97, а именно:
I
0
Рис. 205.
и дц і v ди _ 1 д / ди \
дх * ду ? ду \ ду)
А
р ду2
(105)
ди . dv
дх ду или, согласно (104):
ди , ди .и, \ / \ дги и — Л-ъ— = ЬЬ{х) ит (X)
(105')
