Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
со
л = Ifl. J / (г, t) г* dr = const. (141')
о
Входящий в это соотношение интеграл имеет размерность длины в пятой степени. Если вместо величины L, определенной равенством (138), ввести в рассмотрение новый масштаб турбулентности L*, равный
со
= ( J7(r, l)r*drjJc, (142)
о
то равенство (141) заменится простым соотношением
vPL*b = const, (143)
выражающим закон сохранения момента возмущений в форме: произведение средней квадратичной пульсации скорости (или среднего значения отнесенной к единице массы жидкости кинетической энергии пульсационного движения) на пятую степень масштаба турбулентности при затухании однородной и изотропной турбулентности сохраняется.
Сохраняющаяся во времени величина момента возмущений А представляет своеобразную характеристику поля турбулентных возмущений и играет такую же роль, как, например, общее количество тепла в задаче о распространении тепла в жидкости или количество движения при удалении от источника струи или тела, образующего след.
Тепловая аналогия в данном случае оказывается особенно интересной, так как уравнение (139) можно рассматривать формально как аналог уравнения распространения тепла в пятимерном пространстве.1 Поскольку
* См., например, А. Вебстер и Г. Cerе, Дифференциальные уравнения в частных производных математической физики, ч. 1, Гостехиздат, 19% стр. 227. I
6? ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕЙИЁ [fyl. IX
уравнение (139) справедливо лишь при малых рейнольдсовых числах турбулентности, т. е. в последних стадиях затухания возмущений, что соответствует большим значениям времени t, то достаточно построить простейшее решение
уравнения (139), отвечающее случаю ,источника". Это решение будет:
__
е ш
F(r,t)= const(144)
Для определения константы воспользуемся теоремой о сохранении момента возмущений. Будем иметь:
г*
оо оо —;_
A= J Ffr.ti + ar-const Jfj7^r^r, о о х '
откуда найдем:
л
const
48 1/?" '
Итак, имеем: ^
А
(145)
Полагая здесь г « О, получим, согласно (136), следующий закон убывания со временем интенсивности турбулентности:
^=5FTsft=F- (146)
Разделив обе части (145) соответственно на (146), определим коэффициент корреляции
л F (r> t) ~ ISF /(г, O = -^i-2 =« . (147)
После этого нетрудно найти н закон возрастания со временем масштаба турбулентности JL:
OO OO уЯ
L— Cf (г, t)dr=( e~M~dr = Уъы. (148)
о О
Согласно (143) и (146), таков же и порядок возрастания масштаба L*: L* = У 48 IrSiT Y^t. (148')
Рейнольдсово число турбулентности R, если в нем аа линейный размер принять масштаб L (нлн ?*),' будет убывать со временем по закону:
р Vyl і/"а У* - 1
; Г 48 V2 (ytfL' т. е. действительно будет малым прн больших L 1
1 Более детальное исследование решения уравнения (139) можно найти в статье М. Д. Миллнонщикова „Вырождение однородной изотропной турбулентности вязкой несжимаемой жидкости". Докл. АН СССР, т. XXII, № 5, 1939, а также в ранее цитированной нашей работе (Труды ЦАГИ, рып. 440, 1939). § 104] РАССЕЯНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ЖИДКОСТИ 672
Случай больших значений рейнольдсова числа турбулентности, когда недопустимо пренебрежение конвективным членом, содержащим функцию Н, был при допущении о „локальном подобии" турбулентности изучен акад. А. Н. Колмогоровым, 1 показавшим, что отвечающий формуле (14? масштаб турбулентности L* в этом случае изменяется по закону:
-L* = (?'(149)
где К и — некоторые постоянные. Затухание интенсивности турбулентности определяется при этом формулой:
^ = (-)'V-(^z0)-"/, (150)
За доказательством этих двух важных соотношений отсылаем к цитированным выше работам А. Н. Колмогорова.
Подробный и тщательный анализ возможных решений основного уравнения (135) прн различных гипотезах относительно структуры однородного, изотропного турбулентного потока был произведен Jl И. Седовым;2 некоторые соображения по тому же поводу в дальнейшем высказал Батчелор. л Советские ученые добились больших успехов в изучении структуры турбулентных потоков; о главнейших достижениях в этой области можно прочесть в обзоре А. М. Обухова. 4
Вопрос о возможности применения статистических теорий турбулентности к прикладным вопросам HejpemeH еще окончательно. Некоторые приложения этих теорий в динамическои метеорологии можно найти в работах JL В. Келлера, А. М. Обухова, М. И. Юдина, ссылки на которые помещены в только что цитированном обзоре А. M Обухова.
Современная техника аэродинамического эксперимента позволяет измерять не только средние, но и действительные быстро пульсирующие значения скоростей и давлений в турбулентном потоке, а также различные осред-ненные характеристики турбулентности потока. Для этой цели наиболее удобен тепловой анемометр или, как его еще иногда называют, анемометр с нагреваемой нитью. Устройство этого в настоящее время хорошо изученного прибора не сложно. Кусочек тонкой платиновой ннти (диаметром от 0,008 до 0,020 мм и длины от одного до нескольких миллиметров) подогревается электрическим током и устанавливается перпендикулярно направлению воз-Д) шного потока, который ее охлаждает. Включая нить в одну из ветвей
