Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
удалении от тела глубина этого провала и1т уменьшается, а ширина Ъ увеличивается. Вне следа (на рис. 207 „границы" области следа, в обычном для теории пограничного слоя смысле, показаны пунктиром) продольная скорость повсюду равна V00.
Разложим поле скоростей в следе на две составляющих: поле скоростей Vco основного потока, набегающего на тело, и поле возмущений («j, V1), выражающее подтормаживающее влияние тела; положим:
U = Voo-Uv
V = V1.
(123)
Принимая поле возмущений в удалении от тела слабым по сравнению с полем скоростей набегающего потока, можем, подставив величины ыиг;в уравнения пограничного слоя (105), откинуть квадраты
1 Г. Н. Абрамович, Турбулентные свободные струи жидкостей н га» goe, Госэнергоиздат, 1948. § 103]
турбулентный след за обтекаемым телом
665
возмущений и получить следующие линеаризированные уравнения:
Su1 _ А д2щ
дх рVeo ду*'
диг , ^f1 _п
(124)
Такая упрощенная система уравнений имеет место только для области следа, удаленной от обтекаемого тела. Задача о следе в непосредственной близости за телом представляет непреодолимые трудности даже для хорошо обтекаемых тел, так как в этом случае возмущения уже не малы и, кроме того, возникает необходимость сращивать решения в пограничном слое и следе, удовлетворяющие тем же уравнениям, но различным граничным условиям: и — 0, ® = 0 — на поверх-
а
ности тела, = 0, ® = 0 — на нулевой линии тока в следе.
При удалении от обтекаемого тела теряется значение формы тела и, как далее будет показано, становится достаточным знание какой-нибудь одной суммарной характеристики тормозящего влияния тела, например, его сопротивления W.
Используем, как это уже делалось ранее (§ 101) при выводе формулы профильного сопротивления, уравнение импульсов в следе (86), которое в случае несжимаемой жидкости имеет вид:
iff»* Ijr
и заметим, что вдалеке от тела U = Fco, V = 0, так что при достаточно больших значениях х:
4-со
8** = J JL- (l — JL) dy = const.
—OO
Вспоминая еще формулу (83), получим:
-f-oo
P J U(Vr00-и)dy = const = W. (125)
—OO
Заменим в этом выражении и на V00 — U1 и откинем вновь малые величины выше первого порядка. Тогда будем иметь:
4- OO
P Vco j ^dy=W. (126)
—со
Сделаем, как и прежде в теории струи, предположение о подобии эпюр продольных скоростей возмущений в сечениях, удаленных от тела, т. е. положим
666
турбулентно Г движение
[і Л. ix
где Ulm—максимальная продольная скорость возмущения на оси следа в данном его сечении, а Ь — некоторая условная ширина следа. Подставляя последнее выражение в уравнение (126), получим:
4-OO
PVcoи1тЬ. J/(I) d ({) = W. (128)
—со
Отсюда сразу вытекает, что во всех удаленных от тела сечениях
и1ет • 6 = const. (129)
Замечая, что по основной формуле коэффициента турбулентного обмена (104) в рассматриваемом случае следа будем иметь:
А = kpb (Va, — ит) = kpbulm, (130)
на основании (129) заключим о постоянстве коэффициента турбулентного обмена А во всей удаленной от тела области следа. Таким образом, имеем вместо (129):
"I^ = I = Const. (129')
Отсюда следует, что линеаризированные уравнения (124) возмущений в турбулентном следе за телом совпадут с аналогичными уравнениями для ламинарного следа, если заменить коэффициент турбулентного обмена А на обычный коэффициент молекулярной вязкости р. Граничные условия как для турбулентного, так и для ламинарного следа будут иметь вид:
при у = 0 ^ = Oj
' ду [ (131)
при у — — oo Ui = 0. J
Уравнениям (124) и граничным условиям (131) можно удовлетворить простейшим, известным из теории распространения тепла в стержне, фундаментальным решением типа „источника": 1
еУоэУ 0 AAw
U1 = C-е . (132)
1 Задача о ламинарном следе, с математической стороны ничем не отличающаяся от рассматриваемой сейчас задачи о турбулентном следе, подробно изложена в нашей монографии „Аэродинамика пограничного слоя" на стр. 118—124. Решение задачи о турбулентном следе, основанное на применении гипотезы о постоянстве коэффициента турбулентного обмена, было дано впервые в указанной на стр. 656 работе Б. Я. Трубчикова, помещенной в Трудах ЦАГИ, вып. 372, 1938. § ЮЗ]
ТУРБУЛЕНТНЫЙ СЛЕД ЗА ОБТЕКАЕМЫМ ТЕЛОМ
667
Постоянная С может быть выражена через заданное сопротивление тела W, если указанное только что выражение U1 подставить в равенство (126). Будем иметь:
P Va *Га>у'
C-L^ С е iA<° dy= W. Vx J
Простое выполнение квадратуры приводит к результату
W
C=
2 I^AV00' что дает вместо (132)
рУооУ
U1 = -J.v—e . (1320
2 YnpAVcoX
Полагая здесь у == 0, найдем выражение скорости максимального возмущения на оси:
аш= 2 V^AVZ "h' (133)
которая, как показывает формула (133), убывает с удалением от тела по закону обратной пропорциональности корню квадратному из расстояния сечения следа до тела, образующего след. Согласно (129), условная ширина следа b оказывается пропорциональной корню квадратному из абсциссы х.
Разыскав выражение для U1 и пользуясь вторым уравнением системы (124), найдем поперечную скорость
