Симметрия глазами химика - Харгиттаи И.
ISBN 5-03-000276-6
Скачать (прямая ссылка):
Мы уже рассмотрели плотнейшую упаковку одинаковых кружков на плоской поверхности. Плотнейшая упаковка шаров на плоской поверхности является сходной задачей. И в этом случае плотнейшее расположение достигается тогда, когда каждый шар соприкасается с шестью другими. Слои шаров затем могут быть наложены разными способами. В плотнейшей упаковке каждый шар соприкасается с тремя шарами каждого соседнего слоя, так что общее число контактов равно 12. Следовательно, плотнейшая упаковка основана на плотноупакованных слоях. Рис. 9-29 демонстрирует это по Уэллсу [2]. Шары одного слоя обозначены через А. Подобный слой может быть помещен над первым так, что центры шаров верхнего слоя расположатся по вертикали над положениями В (или С). Третий слой можно разместить двумя спосо-
444
Глава 9
Рис. 9-29.
Плотнейшая упаковка слоев ABC по Уэллсу [2]. Воспроизводится с разрешения.
бами: центры шаров будут находиться над положениями С или А. Таким образом, возникают две простейшие последовательности слоев: AB AB AB... и А ВС А ВС... . Они имеют одинаковую плотность (0,7405).
Упаковка, основанная на последовательности АВАВ..., названа гексагональной плотнейшей упаковкой и показана на рис. 9-30, а. Каждый шар имеет 12 соседей, расположенных в вершинах координационного полиэдра.
Упаковка, основанная на последовательности АВСАВС..., названа кубической плотнейшей упаковкой. Она изображена на рис. 9-30,6 и характеризуется кубической симметрией.
Плотнейшая упаковка одинаковых шаров достигается при таком расположении, в котором каждый шар соприкасается с тремя шарами в каждом соседнем слое. Следовательно, общее число соседей равно 12. Хотя упаковка в любом слое - очевидно, плотнейшая из всех возможных, нельзя полагать, что подобная ситуация обязательно сохранится и для заполняющих пространство расположений, получающихся от наложения таких слоев. Так, рассмотрим добавление четвертого шара к плотной упаковке из трех шаров [2]. Максимальное число контактов при возникновении тетраэдрической группировки равно трем. Заполняющее пространство расположение требует, чтобы каждый тетраэдр имел грани, общие с четырьмя соседними. Однако правильные тетраэдры не пригодны для заполнения пространства без промежутков или перекрываний, поскольку тетраэдрический угол 70° 32' не кратен величине 360°.
Предположим теперь, что мы упаковываем шары одинакового размера вокруг одного центрального шара. Максимальное число шаров, касающихся исходного шара, равно 12. Однако в действительности
Симметрия в кристаллах
445
Рис. 9-30.
Плотноупакованные шары по Шубникову и Копцику [20].
а-гексагональная плотнейшая упаковка; б-кубическая плотнейшая упаковка.
вокруг центрального шара имеется несколько больше места, чем требуется для 12 шаров такого же размера, но его недостаточно для размещения 13-го шара. Из-за наличия этого свободного пространства существует бесконечное число способов расположения 12 шаров [2].
9.7.1.1. Икосаэдрическая упаковка. Наиболее симметричное расположение-это размещение 12 шаров в вершинах правильного икосаэдра-единственного правильного многогранника с 12 вершинами. Таким образом, икосаэдрическая упаковка является наиболее симметричной. Однако это не плотнейшая упаковка. Шары в таком расположении удалены друг от друга дальше, чем в любом другом. К тому же это не кристаллографическая упаковка. При совместной упаковке икосаэдры не образуют плоскую поверхность, а постепенно изгибаются и в конце концов образуют замкнутую систему, показанную на рис. 9-31 [36].
Длина ребра правильного икосаэдра примерно на 5% больше расстояния от центра до вершины. Таким образом, каждый из 12 шаров внешней оболочки соприкасается только с центральным шаром. И наоборот, чтобы каждый из 12 шаров в икосаэдре касался центрального шара и в то же время находился в контакте с пятью соседними шарами.
446
Глава 9
Рис. 9-31. Рис. 9-32.
Икосаэдрический вирус полиомы [36]. Иллюстрация к икосаэдрической упаковке по Маккею [38]; икосаэдрическая упаковка шаров, показывающая третью оболочку.
центральный шар должен иметь радиус на 10% меньше радиуса внешних шаров. Рассмотрение относительных размеров важно также и для структур свободных молекул, если центральный атом или атомная группировка окружены 12 лигандами [37].
Интересен случай, рассматриваемый как шаг вперед от изолированной молекулы к более протяженным системам, когда икосаэдр из 12 шаров вокруг центрального атома окружен второй икосаэдрической оболочкой вдвое большего размера [38]. Эта оболочка содержит 42 шара и располагается над первой так, что соприкасаться будут шары, связанные осями пятого порядка. Дальнейшие слои могут накладываться тем же способом. На рис. 9-32 изображен третий слой как пример икосаэдрической упаковки равных шаров. На каждой треугольной грани слои шаров образуют кубическую плотную упаковку. Каждый шар, не лежащий на ребре или в вершине, касается только 6 соседей, трех сверху и трех снизу. Каждый такой шар отодвинут от своих соседей в плоскости грани икосаэдра на расстояние, составляющее 5% его радиуса. Вся совокупность шаров может быть искажена до кубической плотной упаковки в форме кубооктаэдра. Это искажение можно считать обратимым процессом типа перегруппировки, обсужденной ранее (см. рис. 3-88, б).
