Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 1. Групповое кольцо
Пусть П — мультипликативная группа. Свободная абелева группа Z (П), порожденная элементами х 6 П, состоит из конечных сумм 2/п (х) х с целыми коэффициентами т (х) ? Z. Произведение в П индуцирует произведение
(2/п (*) х) (2т' (у) у) = 2т (х) т' (у) ху
х у х,у
двух таких элементов и превращает Z (П) в кольцо, называемое целочисленным групповым кольцом группы П. Таким образом, элемент из Z (П) — это функция т, определенная на П со значениями в Z, равная нулю, за исключением конечного числа аргументов х 6 П; сумма двух функций определяется формулой (m -f т!) (х) — т(х)-{- т’ (х), а произведение — формулой (тт') (*) = = 2т (у) т' (г), причем последняя сумма берется по всем у и z из П, для которых yz — x. Кольцевой гомоморфизм е: Z (П) -+-Z, называемый пополнением, определяется следующим образом:
е(2/п(л:) х) = 2т(х). (1.1)
X X
Пусть |л0 : П —> Z (П) —функция, которая сопоставляет каждому элементу у 6 П элемент из Z (П), записываемый через 1 у; более точно это означает, что ц0г/ — это такая функция из П в Z, что (И-оУ) (у) = 1 и (\х,йу) (х) = 0 для хф у. Очевидно, что ц,0 — мультипликативный гомоморфизм, т. е. (УУ') — (И-о*/) (и-оУ') и Щ (1) = 1.
§ 1. Групповое кольцо
141
Групповое кольцо Z (П) совместно с этим гомоморфизмом можно охарактеризовать следующим свойством универсальности.
Предложение 1.1. Если П — мультипликативная группа, R — кольцо с единицей и fx: П —> R — функция, обладающая свойствами ц (ху) = ц (х) ц (г/) и ц (1) = 1, то существует единственный кольцевой гомоморфизм р: Z (П) —> R, для которого рц0 = ц.
Доказательство. Мы можем положить р (2т (х) х) = = 2т (х) [I (д:); это отображение является кольцевым гомоморфизмом, причем единственным, обладающим свойством рц0 = ц.
Имея в виду это свойство, было бы последовательнее называть Z (П) не «групповым кольцом группы П», а свободным кольцом над мультипликативной группой П.
Модули над кольцом Z (П) (сокращенно, П-модули) будут постоянно встречаться в дальнейшем.
Предложение 1.2. Абелева группа А приобретает однозначно определенную структуру левого U-модуля, если задана или
(i) такая функция, определенная на множестве Их А со значениями в А и записываемая как ха, где х 6 П, а ? А, что соотношения
х (а4 -f а2) = xat ¦+¦ ха^, (х^г) a — xt {хга), 1а —а (1.2)
выполняются тождественным образом, или, если задан
(ii) групповой гомоморфизм
Ф : П —Aut А. (1.3)
Здесь Aut А обозначает множество всех автоморфизмов группы А, т. е. всех изоморфизмов а : А -*¦ А. Относительно умножения Aut А образует мультипликативную группу.
Доказательство непосредственно: формула (1.2) определяет ф равенством ф (*) а = ха, в то время как группа Aut А содержится в кольце эндоморфизмов Homz (А, А), а поэтому по предложению 1.1 ф расширяется до гомоморфизма г|з : Z (П) ->-Homz (А, А), который превращает А в левый модуль с операторами 1|з (и) а для каждого и 6 Z (П).
В частности, любую абелеву группу А можно рассматривать как тривиальный П-модуль, если считать, что флс = 1 для всех х 6 П; тогда ха = а для всех х.
Для каждого П-модуля А мы построим аддитивную, но не обязательно абелеву группу А х ФП, называемую полупрямым произведением А и П с операторами ф. Элементами этой группы служат пары (а, *), а сложение определяется формулой
(а, х)+(а!, jcj) = (а-{-хаи xxi), ха{ — ф (х) а,. (1.4)
142
Гл. IV. Когомология групп
Можно доказать, что действительно построена группа с «единичным» элементом 0 = (0, 1) и обратным '— (а, х) = (—х_1а, х~1) и что существует короткая точная последовательность
О -> А Л ЛХфП Л П -> 1, (1.5)
в которой гомоморфизм х определен равенством ха = (а, 1), гомоморфизм а — равенством а (а, х) = х, а 1 обозначает тривиальную мультипликативную группу. Для а имеется также правый обратный гомоморфизм v, определяемый как vx = (0, л:) для всех х; v отображает мультипликативную группу П в аддитивную группу А х ФП.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Голоморфизм Л мультилликативной группы G — это взаимно однозначное отображение G в G, при котором А (ab~4) — A (a) А (Ь)-1 А (с) для всех а, Ь, с 6 G. Показать, что множество всех голоморфизмов группы G образует относительно умножения группу Hoi G, называемую голоморфом G. Построить короткую точную последовательность (А,, т) : G >» Hoi G -» Aut G, где (Ag) (а) = ga, (тА) (а) = А (1)_1А (а) и для т существует правый обратный.
2. (Р. Бэр.) Пусть А есть П-модуль и Но! А — голоморф аддитивной группы модуля А, описанный в упражнении 1. Построить прямое произведение (Но1Д)хП с проекциями и я2 на множители и показать, что группа А х ФП изоморфна той подгруппе группы (Hoi А)хП, для которой
гя1=фя2 : (Hoi А) х П -*¦ Aut А;
сравнить последовательность (1.5) с последовательностью, указанной в упражнении 1.
