Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
в которой вертикальные отображения — изоморфизмы, что устанавливается в следующей дальше лемме. Эти изоморфизмы естественны, так что диаграмма коммутативна. Нижняя строка относится не к кольцу R, а только к кольцу Z; поскольку D — полная группа, нижнее отображение Homz (х, 1D)—эпиморфизм. Так как г|в и г|А — изоморфизмы, верхнее отображение Нотл (х, lj) также является эпиморфизмом.
128
Гл. III. Расширения и резольвенты
Лемма 7.5. Если G — абелева группа и А — R-модуль, то существует естественный изоморфизмт]л : Ногпл (A, Homz (R,G))о=; ^ Homz (A, G).
Доказательство. Возьмем / ? Нотл (Л, Homz (R, G)). Для а 6 Л, fa: R-*~ G, т. е. (/а) (г) 6 G. Теперь рассмотрим / как функцию от двух переменных / (а, г) со значениями в G. Тот факт,, что fa есть Z-гомоморфизм, означает аддитивность / (а, г) по аргументу г, а то, что /: Л -> Homz (R, G) есть ^-гомоморфизм, означает аддитивность по а и выполнение равенства s (fa) = f (sa) для каждого s 6 R. По определению (7.3) умножения на s, это значит, что всегда
[s (/а)] (г) = (fa) (rs) = [/ (sa)] (г),
другими словами, / (a, rs) = / (sa, г). В частности, f (a, s) = = / (sa, 1), так что функция / определяется функцией g (a) = = / (а, 1). Очевидно, что g : А G — гомоморфизм. Теперь гомоморфизм т]А и обратный к нему определяются формулами
(W) («) = /(«. 1); (ЛА^Ма, r) = g(ra).
Отображения тц и тц\ очевидно, гомоморфны и естественны (по Л и G).
Возникшая здесь идея рассматривать функцию f (а, г) от двух переменных как функцию аргумента а, значениями которой являются функции от г, встретится позже (V.3) много более формальным образом, а эта лемма окажется частным случаем более общего естественного изоморфизма, называемого «сопряженной ассоциативностью». Инъективные модули будут изучаться дальше в §11.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть R — область целостности. Показать, что поле частных кольца R есть полный ^-модуль. Если дополнительно R — кольцо главных идеалов, то показать, что это поле инъективно как ^-модуль.
2. Если А — левый Я-модуль и L — левый идеал в R, то каждый элемент a6 А определяет ^-модульный гомоморфизм fa: L -*¦ А, задаваемый формулой fa (I) = la. Доказать, что модуль А инъективен тогда и только тогда, когда для всех L каждый гомоморфизм / : L -*¦ А равен /„ для некоторого а.
3. Если К — комплекс Я-модулей и J есть инъективный Я-модуль, то показать, что отображение а из (4.1) порождает изоморфизм
Я» (Ношд (К, J)) а Нотд (Я„ (К), J).
§ 8. Инъективные резольвенты
129
§ 8. Инъективные резольвенты
Комплекс е : А У под модулем А — это последовательность вида
О^АЛГ0ЛУ1Л----*Г'1Д7”Л1--- . (8.1)
в которой произведение любых двух последовательных гомоморфизмов равно нулю. Другими словами, Y — отрицательный комплекс, т. е. положительный по верхним индексам, а е : А Y — цепное преобразование. Если указанная последовательность точна, то е : А -*• Y называется корезольвентой модуля А; если каждый модуль Y„ инъективен, то е : А -*¦ Y называется инъективным комплексом под А. Результаты предыдущего параграфа показывают, что каждый модуль А имеет инъективную (ко) резольвенту, для удобства речи —«инъективную резольвенту».
Теорема 8.1. (Теорема сравнения.) Если а: А -> А'— модульный гомоморфизм, г: A-*- Y — корезольвента и е': А'
-»> Y' — инъективный комплекс под Л", то существует цепное преобразование /: Y -*¦ У\ для которого г'а — /е, и любые два таких цепнщ преобразования гомотопны.
Доказательство строго двойственно доказательству теоремы 6.1, в котором использовались лишь категорные свойства проективных модулей и точных последовательностей. Мы Снова будем говорить, что отображение / накрывает гомоморфизм а.
Для каждого модуля С отрицательный комплекс У определяет, как и в (4.4), отрицательный комплекс
Нот (С,У): Нот (С,У°) -» Нот (С,Г1) ->-----> Нот (С, Уп)—> ... .
(8.2)
Группы гомологий этого комплекса равны группам Ext, как показывает следующая
Теорема 8.2. Для каждого модуля С и каждой инъективной корезольвенты е : А -> У существует< изоморфизм •
?: Ext" (С, Л) & Нп (Нот (С,У)), п = 0,1, , (8.3)
естественный по С и по А в том смысле, что если а : А -у- А\ е': А' -*- У есть инъективная резольвента и /: У У есть произвольное цепное преобразование, накрывающее а, то = /Д. Здесь ft — индуцированный гомоморфизм /* : Я" (Нот (С, У)) -> ->-Яп (Нот (С, Г)).
Гомоморфизм ? определяется следующим образом. Рассмотрим любую последовательность S 6 € Ext" (С, Л) как корезольвенту А с нулями, стоящими за членом С (верхней) степени п; по теореме 8.1
130
Гл. III. Расширения и резольвенты
построим цепное преобразование, указанное в диаграмме у . о_________^ а__> уо __> у1 —> . _> у71-1_> Yn__> уп+1
t* II t t t V <8-4>
5 : 0 —> A —> Bn-j —> Bn-2 —> • • • —> Bo —>• С —>• 0.
Тогда gn: СYn является циклом из Horn (С, У). Положим
