Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 11.1. Если к: А' В — существенный мономорфизм-а Я-: Л' J — мономорфизм с инъективной областью значений J, то существует мономорфизм ц : В -*• J, для которого цх = К.
Другими словами, существенное расширение модуля А' вкладывается в любое инъективное расширение модуля А'.
Доказательство. Поскольку J — инъективный модуль, X : Л' -> J продолжается до ц и ^х = К. Пусть К — ядро ц. Поскольку X — мономорфизм, К[\*А' = 0; поскольку мономорфизм х существенный, К = 0. Следовательно, ц — мономорфизм.
Предложение 11.2. Модуль J инъективен тогда и только тогда, когда J не имеет собственного существенного расширения.
Доказательство. Если / с В и J инъективен, то J есть прямое слагаемое В, так что расширение J cz В несущественно в любом случае, кроме случая J — В. Обратно, если J не имеет собственного расширения, то мы хотим показать, что любое расширение J cz В расщепляется.
Рассмотрим множество if всех подмодулей S модуля В, для которых Sfjy = 0. Если подмножество {5*} элементов из линейно упорядочено по включению, то объединение S = U St множеств St есть подмодуль в В и S f| J=0; значит, S принадлежит З3. Поскольку любое линейно упорядоченное подмножество из имеет верхнюю грань в &, по лемме Цорна в существует элемент М, максимальный в том смысле, что он не содержится строго ни в одном S. Тогда J —>¦ В —>• В /М — существенный мономорфизм. Но по
138
Гл. III. Расширения и резольвенты
предположению J не имеет собственных существенных расширений, поэтому J ->~В/М — изоморфизм, Б=Уи-Л1и^ПЛ1 = 0. Значит, модуль J является прямым слагаемым любого содержащего его модуля В и поэтому инъективен.
Эго подсказывает, что мы можем построить минимальное инъективное расширение как максимальное существенное расширение.
Теорема 11.3. Для любого модуля А имеется существенный мономорфизм к: A -+-J в инъективный модуль J. Если я': А -*• -*-J’ — другой такой мономорфизм, то существует такой изоморфизм 0: J ->• J', что 0х = х'.
Доказательство. По теореме 7.4 существует инъективный модуль Jо, для которого A cz J0. Пусть S — множество всех таких подмодулей S модуля J0, что расширение А с 5 существенно. Если {St} — подмножество из S, линейно упорядоченное по включению, то объединение (J S< является существенным расширением А и, следовательно, принадлежит S¦ По лемме Цорна в S имеется максимальный элемент J, причем расширение A cz J существенно. Любое собственное расширение J можно было по лемме 11.1 вложить в J0 в противоречие с максимальностью J. Следовательно, по предложению 11.2 модуль J инъективен.
Пусть х: А ->• J есть вложение. Если х' : А -*¦ J' есть другой существенный мономорфизм в инъективный модуль J', то в силу леммы 11.1 имеется мономорфизм ц : J' J, для которого fix' = = х. Поскольку подмодуль [iJ' инъективен, он является прямым слагаемым в J. Поскольку вложение А -*¦ J существенно, ]aJ' должен совпадать с J, так что ц. — изоморфизм, как и утверждалось.
Существенный мономорфизм х: A-+J в инъективный модуль J, единственный с точностью до эквивалентности, называется инъективной оболочкой модуля А. Ее существование было установлено Бэром [1940]; в своем доказательстве мы следовали Экману — Шопфу [1953]. О некоторых из применений оболочек см. работу Матлиса [1958]. Двойственная конструкция — «минимального» проективного модуля Р с эпиморфизмом Р -> Л вообще невозможна (почему?).
Замечания. Изучение расширений производилось вначале для расширений мультипликативных групп (см. гл. IV), причем расширения описывались с помощью систем факторов. Систематическое исследование Шрейера [1926] оказало большое влияние, хотя идея системы факторов появилась значительно раньше (Гёльдер [1893]). Те же системы факторов были важны при представлении центральных простых алгебр как скрещенных произведений (Брауэр [1928], Хассе—Брауэр —Нётер [1932])
и, следовательно, в теории полей классов. Инвариантное исследование расширений без систем факторов впервые было начато Бэром [1934, 1935]. Эйлен-берг н Маклейи [1942] в своем исследовании проблемы универсальных коэффициентов впервые установили, что расширения абелевых групп имеют
§ 11. Инъективная оболочка
139
топологические приложения. Там же был введен функтор Ext1. Другое доказательство теоремы об универсальных коэффициентах и теоремы о гомотопической классификации было дано Масси [1958] с использованием конуса отображения.
Резольвенты, возможно без названия, использовались давно, например, Гильбертом [1890]. Хопф в 1944 г. использовал их явно для описания гомологий группы. Картан 11950] использовал их для теории когомологий групп и дал аксиоматическое описание, такое, как в § 10; функтор Ext" был определен с помощью резольвент Картаном и Эйленбергом. Определение с помощью длинных точных последовательностей дал Иоиеда [1954], который также провел [1960] более общее исследование произведений.
ГЛАВА J\f
Когомология групп
Когомология группы П — это наш первый пример функторов Ext« (С, А), где R — групповое кольцо и С = Z. Эти группы когомологий можно определить непосредственно в терминах стандартной «S-резольвенты». В малых размерностях когомологии появляются в вопросе о групповых расширениях с помощью П; во всех размерностях они имеют топологическую интерпретацию (§ 11)-
