Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Любое расширение (3.1) абелевой группы G = А, которое расщепляется (гомоморфизмом v : П -*-В), конгруэнтно пол упрямому произведению А х срП; изоморфизм р : В —> А х ФП определяется формулой РЬ = (х~* lb — va6], ab). Подробнее
b + bl — va(b + bi) = (b — vab) + vab + (bi — vabi) — vab =
= (b — vab) + и [(96) x_1 (bi — va&j)],
точно так же, как и в. правиле сложения (1.4) для полупрямого произведения.
Если П — (неабелева) свободная группа с образующими f*, то любой эпиморфизм а : В —» П имеет правый обратный, который можно задать, положив vtk — Ьк, где Ьк — такой элемент из В, что abh = th. Следовательно, любое расширение при помощи свободной группы расщепляется, и Opext в этом случае состоит из одного элемента.
В качестве более интересного примера возьмем П — Ст (t), где Ст (t) — циклическая группа конечного порядка т с образующим t. В некотором расширении Е с помощью Ст отождествим каждый элемент а 6 А с его образом ха 6 В, так что A cz В. Выберем представитель и для t: аи = t; так как a (mu) = tm = 1, то ти = а0 6 А. Каждый элемент из В можно единственным образом записать в виде a + ш, где а ? А, и 0<t</n. В силу выбора а0 и (3.2)
ти = ао, u + a = ta+u. (3.5)
Используя эти равенства, сумму любых двух элементов вида а + ш можно представить в этом же виде. В силу ассоциативности и + + ти = (т + 1) и = ти + и, так что и + а0 — а0, + ti. Следовательно, а0 = ta0, т. е. элемент а0 «инвариантен» относительно t. Этот элемент а0 не единствен: (если и' = at + и — другой представитель t в В, то ввиду (3.5) и индукции по т
ти' = m(ai + u) = ai + tai+ ...+ <m_1a1 + ти = Nt(h + Oq.
Здесь Ntai — a4 + ta, + . . . + норма относительно t
в Cm-модуле A; Nt есть групповой гомоморфизм Nt: A —* A. Поскольку смежный класс a0 по модулю NtA однозначно определен классом конгруэнтности расширения, мы установили соответствие
Opext (Ст (t), А, <р) <--> [a | ta *= a]INtA. (3.6)
10*
148
Гл. IV. Когомология групп
Указанное сопоставление взаимно однозначно: если дан инвариантный элемент а0, то возьмем в качестве В множество всех символов вида а + iu, 0 < i < т, и определим в этом множестве сложение формулой (3.5). Инвариантность а0 обеспечивает ассоциативность этого сложения, и поэтому В является расширением А при помощи Ст с данными операторами. В частности, если операторы в А тривиальны (всегда ta = а), выражение, стоящее справа в (3.6), превращается в группу А/тА —в согласии с уже полученным результатом для случая абелевых расширений (предложение
II 1.1.1). В этом случае все расширения А с помощью Ст абелевы.
Пусть теперь П = С» X С» — свободная мультипликативно записанная абелева группа с двумя образующими и tz. В произвольном расширении с помощью П выберем представители ut образующих ti, i = 1, 2. Тогда существует такой элемент а0 из А, что Ыг + Ui = а0 + Ui + Uz, а все элементы расширения можно единственным образом записать в виде а + miUi + т2ы2 с целыми коэффициентами т1 и т2. Сложение в В определяется сложением в Л и правилами
Uj -)- Я = tjQ, -j- lli, ll2~\~Cl — t%Cl -)- U-2, U2 -f- U\ — dg -f-Uj -j- Ы2.
Так определенное сложение на множестве элементов а + rriiUy + + m2u2 всегда ассоциативно и превращает это множество в группу. Если представители щ и ы2 заменить другими представителями щ = + Mi, и2 = a2 + и2, где аи аг 6 Л, то константа а0 заме-
няется элементом а0 + а% — ^я2 — at + ^i- Следовательно, если
S — подгруппа, порожденная всеми суммами вида а2 — ^а2 —
— fli + 12fli, то мы получаем взаимно однозначное соответствие
Opext (С» х С,», Л, ф) <---> A/S. (3.7)
УПРАЖНЕНИЯ
1. Описать Opext (Coo X Coo X Coot А, ф).
2. Описать Opext (Cm x C^, A, q>).
3. Показать, что предложение 2.1 остается в силе, если Л ХфП заменить произвольным расширением (П, A, qp).
§ 4. Системы факторов
Проведенные рассуждения наводят на мысль, что Opext (П, Л, ф) подобно Ext есть группа. Эта групповая структура может быть описана посредством некоторых систем факторов.
Пусть Е —- расширение (3.1) из Орех{(П, Л, ф); для удобства отождествим каждый элемент а с ха. Для каждого х из П выберем «представитель» и (*) в В, т. е. такой элемент и (*), что аи (х) = х.
# 4. Системы факторов
149
В частности, положим и (1) = 0. Теперь в каждом смежном классе В по А содержится ровно один представитель и (х), а элементы из В однозначно представимы в виде а + и (х), а ? А, л: 6 П. Мы будем записывать действие операторов так: ф (х)а — ха. Тогда формула (3.2) при b = и (х) принимает вид
и(х) + а — ха-\-и(х). (4.1)
С другой стороны, сумма и (х) + и( у) должна лежать в том же смежном классе, что и и (ху); поэтому существуют однозначно
определенные элементы / (х, у) 6 А, для которых
u(x) + u(y) = f(x, у) + и(ху). (4.2)
