Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
(iii) каждая короткая точная последовательность J » В -» С расщепляется;
(iy) для каждого модуля С, Ext1 (С, J) = 0.
Последнее свойство можно еще более ограничить.
Предложение 7.2. Левый R-модуль J инъективен тогда и только тогда, когда ExtH (R/L, J) = 0 для каждого левого идеала L из R.
Доказательство. Условие необходимо. Обратно, предположим, что каждая группа Ext (R/L, J) равна нулю. Для данных A cz В и а:А J мы должны, как указано в (7.1), построить продолжение 0: В -*¦ J гомоморфизма а. Рассмотрим все пары (S, 7), состоящие из подмодуля S, A cz S cz В и продолжения у: S J гомоморфизма а : A-*- J. Частично упорядочим эти пары по правилу: (S, y)<(S\ 7'), если S <= S" и у" — продолжение 7. Для любого линейно упорядоченного подмножества (Sit yi) этих пар существует верхняя граница (Т, т), т. е. (S,, у{)^.(Т, х):
126
Гл. III. Расширения и резольвенты
нужно взять Т равным объединению подмодулей St и определить т следующим образом: тt = yit, если t 6 S,. Значит, по лемме Цорна существует максимальная пара (Sec, v°°). Нам нужно только доказать, что Sc = В. Предположим, что это не так. Тогда существует элемент b в В, не принадлежащий S,*,; возьмем подмодуль U модуля В, порожденный b и Soo. Отображение г rb + Soo является эпиморфизмом R -» U/Soo, ядром которого служит левый идеал L и R R/L о* U/Soo. Поскольку последовательность Soo >-» U -» U/Soo точна, точна последовательность
Нош (U,J) -» Нош (Soo,У) Ext (U/Soo,J)] (7.2)
но Ext (U/Soo,J) ^ Ext (R/L,J) = 0 по условию, так что Horn (U,J) Нот (S*,, J)—эпиморфизм. Другими словами, каждый гомоморфизм Soo-*- J можно продолжить до гомоморфизма U J. В частности, можно продолжить 7» : Soo J, что противоречит максимальности (Soo,^).
Рассмотрим теперь инъективные модули над специальными типами колец. Если R — поле, то не существует собственных левых идеалов L a R, в то время как ExtB (R, —) всегда есть нуль. Следовательно, каждый модуль (= векторное пространство) над полем инъективен. Положим R — Z, где Z — кольцо целых чисел. Назовем Z-модуль (= абелева группа) D полным тогда и только тогда, когда для всякого целого m Ф 0 и каждого d ? D существует решение уравнения тх = d.
Следствие 7.3. Абелева группа инъективна (как Z-модуль) тогда и только тогда, когда она полна.
Доказательство. Единственными идеалами в Z являются главные идеалы (т), a Z/(m) — циклическая группа порядка т. По предложению 1.1, Ext (Z/(m), А) ^ А/тА, а А/тА — 0 для всех т=? 0 в точности тогда, когда А — полная группа.
Построение проективных резольвент опиралось на тот факт, что каждый модуль есть фактормодуль свободного модуля, а значит, и фактормодуль проективного модуля. Для получения инъективных: резольвент нам необходима
Теорема 7.4. Каждый R-моду ль является подмодулем инъективного R-модуля.
Доказательство. Предположим сначала, что R — Z. Аддитивная группа Z вкладывается в аддитивную группу Q рациональных чисел, а группа Q полна. Любая свободная абелева группа F является прямой суммой копий группы Z; она вкладывается в прямую сумму соответствующих копий Q, и эта прямая сумма Z> полна. Теперь представим произвольную абелеву группу как факторгруппу А = F/S свободной группы F и вложим F в некоторую-
§ 7. Инъективные модули
127
полную группу D, как указано выше; тем самым А = F/S вкладывается в D/S. Прямая проверка показывает, что любая факторгруппа D/S полной группы полна и, значит, инъективна. Абелева группа А оказывается, таким образом, вложенной в инъективную группу D/S.
Вернемся теперь к случаю произвольного кольца R. Для любой абелевой группы G аддитивная группа Homz (R, G) является левым ^-модулем, если произведение sf для s ? R я f : R G определить как гомоморфизм sf : R-у G, действующий на элемент г 6 R так:
(s/)(r) = /(rs), reR. (7.3)
Если С — левый Я-модуль, мы можем определить гомоморфизм
/:С-*Нот2(ВД, (7.4)
положив }с для с 6 С равным гомоморфизму /с : R-*~ С, заданному
(/с)(г) = гс, г 6 Я. (7.5)
Для доказательства того, что это гомоморфизм ^-модулей, возьмем s, г ? R и подсчитаем
[/ (sc)] (г) = г {sc) = (rs)> = (/с) (rs) = по (7.5)
= И/с)](г). по (7.3)
Поэтому / (sc) = s (/с). Поскольку 1 с — с, то / есть мономорфизм.
Теперь вложим аддитивную группу модуля С в полную группу D, это вложение индуцирует мономорфизм Я-модулей
k: Homz (R,C) —> Homz (R,D).
Произведение kj вкладывает С в Homz (R, D). Если мы покажем, что Homz (R, D) = J есть инъективный модуль, то мы докажем теорему. По теореме 7.1 (и), достаточно показать, что каждый мономорфизм х: А В /^-модулей индуцирует эпиморфизм х* = = HomH (х, lj). Здесь у* верхняя строка диаграммы
Ношл(х, lj):HomH(?, Homz {R,D)) —Ношл (Л, Homz(R, D))
j’lA
Homz(x, lD):Homz(.B, D) —>Нош2(Л, D),
