Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
2 2 _ 4
2 1 _ 1
32" 3
Уз =0-
У1 = У 2 =
РГ 1 РГ 1 Р1 л
+------------------О
4 4 8 3 8
EJZх
2 \ г>/3 /
EJ
РГ
8 J
1 1'
1-------
v2 3,
5 РГ 4SEJ
206
ук> 0, т.е. точка к перемещается вниз по направлению действия единичной
силы РК = 1.
Для определения угла поворота вк вспомогательную систему получим,
приложив в точке К единичный сосредоточенный момент МК =1. Эпюра Мк' от
его действия приведена на чертеже. Так как обе эпюры Мр и Мк на левом
участке ограничены
прямыми линиями, то безразлично на какой из них брать площадь, а на какой
- ординату. Пусть
Так как вк < 0, то сечение К поворачивается по часовой стрелке, т.е.
против действия МК = 1.
Рассмотрим два состояния какой-либо упругой линейно деформируемой системы
(рис. 14.10):
I-е состояние "к" - на систему действует обобщенная сила Рк = 1\
II-е состояние У' - после достижения силой Рк конечного значения, равного
единице; температура наружных и внутренних волокон изменилась
соответственно на tn и tb градусов. Запишем уравнение возможных работ сил
первого состояния "к" на перемещения х, вызванных вторым состоянием
системы "t".
и
14.6 Определение перемещений, вызванных изменением температуры
I-е состояние
Рк=1
Nk,Mk,Qk
К
dS
П-е состояние
Дк
Рис. 14.10
207
1 ¦ л* = ? | ^ A dS(N,) + ? j М;М!?(М,)+ ?jfiMS(e,)
i=1 о i=1 0 "'=1 0
Определим перемещения AdS(Nt), A dS(Mt), AdS(Qt).
Рассмотрим элемент, длиной dS и высотой h (рис.14.11).
tH
а
d /
/
/
/
/
/
/
, dS ^ , tb
а
/
/
/
/
/
/
/
/
Ж.
7 AdS(Mt) d '~~~d'
Рис.14.11
Предположим, что поперечное сечение его симметричное относительно
горизонтальной оси, а температура изменяется линейно по высоте h.
Если обозначить через а - коэффициент линейного удлинения материала, то
от изменения температуры длина наружных и внутренних волокон изменится
соответственно на adStH и adStb. По этим значениям построим эпюру
температурных перемещений элемента dS.
Из эпюры температурных перемещений видно, что
A dS(Nt) = at^^dS, AdS(Mt) = at^^dS, AdS(Qt) = О,
2 h
так как от изменения температуры деформация сдвига не возникает.
Подставляя эти перемещения в уравнения возможных работ, получим общую
формулу для определения перемещений вызванных изменением температуры в
статически определимых системах
Рассмотрим случай, когда tH, tb, h и а - постоянные на каждом участке. В
данном случае из полученной выше общей формулы имеем формулу для
определения температурных перемещений в статически определимых балках и
рамах
kt
=?", *4^(r),&)+?*, (JO-
i=1
i=1
208
I _ ____________ *1 ___
где coi(Nk) = jNkdS и со((Мк) = jMkdS - соответственно площадь
о
эпюры Nk и Мк на i- том участке. Следует заметить, что произведение
юг(Л^) и coi(Мк) на соответствующие коэффициенты считается положительным,
если деформации от действия единичной обобщенной силы Рк= 1 и изменения
температуры совпадают по направлению.
14.7 Теорема о взаимности работ и взаимности перемещений
Рассмотрим два состояния какой-либо упругой линейно деформируемой системы
(рис. 14.12):
I-е состояние "к" - система загружена обобщенной силойРК;
II -е состояние "т" - система загружена обобщенной силой Рт Запишем
уравнения возможных работ:
а) сил первого состояния "к" на перемещениях вызванных вторым
состоянием "т"
и л N.dS Г., M-dS V" It I о Q~dS
PfЬы = ZI~^T'+ z JMt + ?J,kQt
i=i о h,r i=i о /ij i=i о Lrr
l-e состояние
Рис. 14.12
б) сил второго состояния "т" на перемещениях вызванных силами первого
состояния "к"
ОЛ V'fjr V'fif Л/jdS QtdS
=? J-?-¦+ ? j.мт -ь-+2 j*e.
,-=i о Ar ,=i о ZiJ /=1 о Lrr
Правые части этих уравнений равны, поэтому и левые части должны быть
равны между собой, т.е.
Pk^km ~
Теорема о возможности работ (теорема Бетти) формулируется так: возможная
работа первой группы сил на перемещениях, вызванных второй группой сил,
равна возможной
209
работе второй группы сил на перемещениях, вызванных первой группой сил.
Если Pk = Рт = Р, то из теоремы взаимности работ получим теорему о
взаимности перемещений (теорема Максвелла)
^km ^тк
Формулируется она так: перемещение в направлении первой обобщенной силы,
вызванное второй обобщенной силой, равно перемещению в направлении второй
обобщенной силы, вызванное первой обобщенной силой, если эти силы равны
между собой. В этом случае, когда Рк=Рт=\, теорема взаимности перемещений
записывается так:
^'кт ^тк
где 8Ы - перемещение в направлении обобщенной силы Рк, вызванное
обобщенной силой Р = 1.
Теорема взаимности перемещений позволяет значительно сократить объем
вычислений при решении целого ряда практических задач. Например, можно
без вычислений утверждать, что для приведенных на (рис.14.13) двух
состояний балки 8Ы =8тк, т.е. прогиб под силой Рк от действия
сосредоточенного момента Мт = 1 численно равен углу поворота на правой
опоре от силы
Рк= I-
Рк=1
X
'тк
8кт У
Мт=1
Рис. 14.13
14.8 Теорема Кастильяно
Вычислим потенциальную энергию деформации какой-либо упругой линейно
