Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
загружении системы. Работа силы может быть действительной или возможной
(виртуальной) в зависимости от того, на каком перемещении она выполняет
ее.
14.1 Действительная работа внешних сил
Работа силы называется действительной, если она выполняет ее на
перемещении, вызванном самой силой. Вычислим действительную работу
сосредоточенной силы Р, приложенной к любой упругой линейно деформируемой
системе (рис. 14.1).
dS
Nk> Qk, Mk
Рис. 14.1
Предположим, что сила Р статически возрастает от нуля до некоторого
конечного значения Р. При этом, вследствие деформации материала, точка А,
приложения силы Р, переместится в точку Aj. Проекция отрезка ААХ на
направление силы Р, т.е. Ак- конечное значение перемещения в направлении
этой силы.
Изобразим график зависимости Р = /(А) - л.ф. (рис. 14.2).
Из физики известно, что площадь АОВС - есть работа силы Р,
т.е.
^
2
Если на упругую систему действует и сосредоточенная внешняя сила, то
действительная работа их будет равна
п РА
к=\ 2
194
Рассмотрим второй пример. Пусть на балку действует пара сил с моментом М
= Ph ( рис. 14.3), который статически возрастает от нуля до некоторого
значения Мк = Pkh. В этом случае, рассматривая действие каждой силы
отдельно, получим
А = ±Р1СС1 =±Pt(b + a)Aq>t,
но так как b + a = h, a Pkh =Мк, то
А =
Рис. 14.3
При действии на балку п внешних сосредоточенных моментов действительная
работа их выразится формулой
^ _ yi М к Лср^
м 2
Из полученных формул для определения действительной работы внешних
сосредоточенных сил и моментов видно, что, как в первом, так и во втором
случаях, она определяется суммой произведений двух сомножителей. Один из
них зависит только от сил и называется обобщенной силой, а второй -
только от перемещений и называется обобщенным перемещением. Обобщенное
перемещение принято обозначать буквой Аы. Первый
195
индекс указывает на точку и направление перемещения, а второй -на причину
перемещения. Обобщенную силу обычно обозначают через Рк. При этом
действительная работа любых внешних сил может быть выражена одной
формулой для определения действительной работы внешних обобщенных сил
где Рк - обобщенная сила, Акк - обобщенное перемещение.
Таким образом, под обобщенной силой можно понимать любое силовое
воздействие, а под обобщенным перемещением -только то перемещение, на
котором данная обобщенная сила выполняет работу.
Для дальнейшего понимания очень важно четко представить себе, какое
обобщенное перемещение соответствует данной обобщенной силе. Например,
линейному перемещению соответствует сосредоточенная сила, действующая в
направлении его, а углу поворота соответствует сосредоточенный момент.
14.2 Действительная работа внутренних сил
При загружении какой-либо упругой линейно деформируемой системы, работу
совершают не только внешние, но и внутренние силы - силы упругости. Они
препятствуют развитию деформаций, т.е. направлены противоположно им.
Поэтому работа внутренних сил, при загружении упругой системы будет
отрицательной.
Определим действительную работу внутренних сил, которую выполняют они при
загружении какой-либо плоской упругой линейно деформируемой системы (рис.
14.1).
Очевидно, что она равна работе внутренних усилий N ,М и Q, так как
последние являются равнодействующими внутренних сил. Обозначим через Nk,
Мк и Qk - конечные значения усилий, а через конечные значения
перемещений, соответственно в направлении действия N, М и Q. Тогда
элементарная (на длине dS) действительная работа внутренних сил выразится
формулой
dW = -^NtAdS(Nt)-^MtAdS(Ml)-^QlAdS(Qt).
Определим AdS(Nk). Для этого предположим, что в сечениях элемента dS
действуют только продольные силы Nk, а Мк = Qk = О
196
Рис.14.4
Показанные на чертеже сплошными линиями силы Nk являются, по отношению к
выделенному элементу, внешними силами, так как совпадают с направлением
деформаций. Внутренние силы будут такими же, но направлены
противоположно. Они изображены на чертеже пунктирными линиями.
Из чертежа видно, что
AdS(Nk ) = AdS] + A dS2 = .
EF
Для определения AdS{Mk) предположим, что элемент dS испытывает чистый
изгиб, т.е. Мк *0, a Nk=Qk= 0 (рис.14.5).
В этом случае сечения I -1 и II -II повернутся на некоторый угол d(p, а
взаимный угол поворота сечений I -1 и II -II -
AdS(Mk) = 2dq>.
197
Так как аО = ЬО= р - радиус кривизны нейтрального слоя, то из
соотношения dS = pAdS(Mk), получим AdS(Mk) = - , но - = ^~
р р EJ
поэтому
A JO/Tt Ж \
AdS(Ml) = -i-.
EJ
Для определения перемещения A dS(Qk) вычислим действительную работу,
которую выполняют внутренние силы при чистом сдвиге элемента dS, т.е. при
N =М = 0, a Q*0.
В этом случае элементарная площадка dF, выделенная в сечении II на
расстоянии у от нейтральной линии, сдвигается по отношению к такой же
площадке в сечении I от действия силы xdF
на величину ydS = -dS (так как x=Gy). Действительная работа
G
силы xdF на этом перемещении будет равна
d2W0 = --xdF-dS = -X-^-dF.
Q 2 G 2 G
Используя формулу Журавского т = ^, их интегрируя по
