Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
принять любую основную систему, нагруженную в точке К сосредоточенной
силой Рк = 1, действующей в направлении искомого перемещения (рис.15.16в
или рис.15.16г). Основная эпюра изгибающих моментов Ми вспомогательнаяМк
или Мк приведены на рис.15.16д,е,ж.
Перемножая по Верещагину эпюры Ми Мкили Ми Мк, получим искомое
перемещение
Ук =ммк =
EJ
1 qa2 а\ а 1 qa2 а 2 а 2~56 2 3 2~2~2Я23 2
qa
338EJ
V
qa
J
ук=ММк'=
EJ
1 а
----а
24
1 qa2 1 qa'
2 28 2 14
'Л 4 fi-i]
qa
)) ~ 22AEJ U )
448EJ
4
qa
448EJ
Как и следовало ожидать, результаты получились одинаковыми.
в)
к
\Pk=i
г)
К
1Рк=1
К
qa
qa2 ТТТггтИ--
$qa2
28
j (r)
( д)
А
а/4
ж)
225
15.7 Способы упрощения канонических уравнений
В расчетной практике используется несколько способов упрощения
канонических уравнений, но все они основаны на одной идее - обращения в
нуль побочных перемещений. Наиболее эффективным средством обращения в
нуль побочных перемещений является удачный выбор основной системы.
Основная система получается удалением из общего числа связей заданной
системы только некоторых связей, которые являются лишними. Причем, за
лишние связи можно принять внешние (опорные) или внутренние связи,
препятствующие взаимному повороту, осевому перемещению или сдвигу
сечений. В таких случаях лишними неизвестными будут внутренние усилия,
т.е. изгибающие моменты, продольные и поперечные силы. В связи с этим
имеется возможность для одной и той же заданной системы при расчете
выбрать несколько основных систем. Однако, используется для расчета
только одна из них - та, в которой наибольшее число побочных перемещений
обращается в нуль. Она называется удачной или рациональной.
Например, выберем основную систему для расчета симметрической заданной
системы (рис.15.17а).
б)
О. С
нерац.
X,
WX~3
Xi I
X, Х2 х2 X\ Х3\ ЎХ3
О. С
рац.
//////
Рис.15.17
Определим стержень статической неопределимости ее Л = ЗК-Ш = 31-0 = 3
и рассмотрим два варианта основной системы.
В первом варианте (рис.15.17б) основная система получена из заданной
удалением трех внешних (опорных) связей в опоре В. Во
226
втором варианте (рис.15.17в), основную систему получим из заданной,
разрезав ее по оси симметрии, т.е. удалим 3 внутренние связи, и примем в
качестве лишних неизвестных Xj - продольная сила в середине ригеля;
Х2 - изгибающий момент в середине ригеля;
Х3 - поперечная сила в середине ригеля.
Очевидно, в первом варианте основной системы ни одно из побочных
перемещений не равно нулю, поэтому система канонических уравнений метода
сил будет полной
8 ц*1 + ^12*2 +513*3 + р = О
^ 21*1 "*"^22*2 "*"^23*3 "*"^2р ~ ^
5 "i*i +5и2х2 +5 зз^з + А2р =0
Проанализируем второй вариант основной системы (рис.15.17в). Построим в
ней эпюры изгибающих моментов м , М15 М2 и М3
(рис.15.18).
Заметим, что эпюры М , Мх и М2 симметричны, а эпюра М3 кососимметричная и
вычислим коэффициент 813
hh---------hh- ^
2
bn=bn=MlM3=-hhl 1
-hh--------------
2 EJ" 2 2 EJ"
= 0
ql7
ql2
X,=
8 8
ж W ж V/
симметричные эпюры
Рис.15.18
асимметричная эпюра
Следовательно, произведение по Верещагину симметричной эпюры на
кососимметричную равно нулю. Поэтому, без вычислений можно записать, что
823 =832 =0. Вследствие этого система канонических уравнений упрощается и
принимает вид
227
8 п*1 +^12*2 ^1 р ~ (r)
^21^1 ~^~^22Х2 "*"^2р =0
1-я система (для симметричных неизвестных)
833^3 + АЪр = О
2-я система (для кососимметричных неизвестных)
Так как в данном примере эпюра Мр симметрична, то АЪр = М ,
М3 = 0 ,следовательно, и Х3 = 0.
При кососимметричной внешней нагрузке эпюра Мр также будет
кососимметричной, поэтому А]р =МрМ] = 0 и А1р =МрМ2 = 0.
Следовательно, в таком случае, симметричные лишние неизвестные будут
равны нулю: хг = 0 и х2 = 0.
Таким образом, для симметричной заданной системы основную систему надо
выбирать тоже симметричную. При этом часть побочных коэффициентов
обратиться в нуль, а система канонических уравнений распадается на две
независимые системы. В одну из них будут входить только симметричные
линейные неизвестные, а во вторую - только кососимметричные. Это
значительно упрощает расчет заданной системы. Поэтому симметричная
основная система (рис.15.17в) считается рациональной или удачной.
Если заданная система несимметрична, то при выборе основной системы
предпочтение надо отдавать системе, которая состоит из большего числа
самостоятельных геометрически неизменяемых элементов. При этом эпюры Мр и
Мг будут распространяться на
меньшее число элементов, что приводит к сокращению объема вычислений при
определении коэффициентов и свободных членов канонических уравнений.
Другие способы упрощения канонических уравнений метода сил мы
рассматривать не будем. Они рассматриваются в курсе "Строительной
механики стержневых систем".
15.8 Особенности расчета статически неопределимых систем, элементы
которой испытывают растяжение или сжатие
Метод сил - общий метод расчета статически неопределимых систем. Он
