Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
имеет поперечное сечение стержня.
Для изучения характера распределения напряжений в поперечном сечении
тонкостенного стержня воспользуемся методом мембранной аналогии.
Представим себе вырезанное в плоской плите отверстие в форме изучаемого
профиля и натянутую на нем пленку. Приложив к пленке равномерно
распределенное давление, изучим ее деформации (рис.13.9).
В случае замкнутого профиля область внутри контура не связана с внешней
областью и под давлением смещается (рис.13.9а). Деформированная пленка
при этом образует поверхность с примерно постоянным углом наклона
касательной к контуру. Следовательно, касательные напряжения
распределяются равномерно по толщине профиля.
Для открытого профиля пленка деформируется как показано на рис. 13.96.
Наибольшие углы наклона касательной имеются по концам, причем в середине
толщины происходит смена знака угла наклона. Поэтому предполагается, что
касательные напряжения т распределяются линейно по толщине профиля (рис.
13.96).
188
Перейдем к выводу формул для расчета тонкостенных стержней на кручение.
13.7 Замкнутые профили
Методом мембранной аналогии установлено, что касательные напряжения в
этом случае распределяются равномерно по толщине поперечного сечения
(рис.13.9а).
т = tg<p = const
Сечение А-А
пленка
\/ ^
енка
б)
1
/
/
/
/
I
xZzzzzzzz^
Сечение А- А
пленка
енка
Рис.13.9
189
Выделим из бруса элемент длиной dx (рис.13.10) двумя сечениями
Рис.13.10
перпендикулярными его оси и двумя меридиональными сечениями. Составив
сумму проекций на ось jc всех сил приложенных к элементу, найдем
= т282 = const
Следовательно, произведение тд по длине контура замкнутого профиля не
изменяется: на участках, имеющих меньшую толщину напряжения больше.
Выразим крутящий момент через напряжения г. Для этого составим момент
силы zSds относительно произвольной точки О (рис.13.11)
мкр = rSrdS
190
Учитывая, что т8 = const, a rds = 2dco - удвоенная площадь треугольника
АОВ, получим
мкр =2т8со,
где со - площадь, ограниченная средней линией тонкостенного сечения Из
этой формулы получим
TjL I
2 сод
Если толщина профиля по контуру неодинакова, то максимальное напряжение
определяется формулой
Для того, чтобы определить относительный угол закручивания тонкостенного
стержня, рассмотрим потенциальную энергию деформации в элементарном
объеме dS dxS. Учитывая, что при кручении материал находится в состоянии
чистого сдвига имеем
г2
dU = -SdxdS.
2 G
Полную энергию однородного стержня длиной / получим проинтегрировав
последнее выражение по длине и по замкнутому контуру
1 гг т2821 г dS
U = -- [ [ T28dSdx = --- f. оnil in i
2G o s 2G Js 8
Подставляя выражение т8 в эту формулу, найдем
Mil rdS
и =
8 Geo
С другой стороны, энергия U может быть выражена через работу внешнего
скручивающего момента М№ на искомом угле закручивания
Приравнивая правые части последних формул, найдем
При постоянной по длине контура S толщине 8 = const
Мь(r) ср =---
AGco 8
191
13.8 Открытые профили
Используя мембранную аналогию с достаточной точностью можно принять то,
что профиль пленки описывается параболой
у = ах2.
Тогда касательные напряжения
т = tg<p = у' = 2 ах
изменяются по линейному закону. Очевидно, что форма пленки, а
следовательно и напряжения в стержне не сильно изменяется, если профиль
сечения распрямить. Это значит, что напряжения в криволинейном открытом
профиле примерно такие, как и в прямолинейном. Следовательно, для их
расчета можно воспользоваться расчетными формулами, приведенными для
прямоугольного сечения с большим отношением сторон.
Используя формулы предыдущей лекции и то, что при ^, получим
%>10 а = р= ь
3^/
ф = G8 S
где 8 - толщина профиля (меньшая сторона прямоугольника Ь = 8);
S - длина контура ( большая сторона прямоугольника h = S).
Полученные формулы пригодны для профиля любой формы, если только он может
быть развернут в прямоугольник.
В случае, если незамкнутый профиль является составным и не может быть
развернут в вытянутый прямоугольник, его разбивают на прямоугольные
элементы, толщина которых значительно меньше длины. Тогда для составного
сечения
где т] - коэффициент, учитывающий погрешность, возникающую при замене
реального профиля прямоугольником: для углового сечения т] = 1,00; для
двутаврового т] = 1,20;
для швеллерного т] = 1,12.
При этом крутящий момент распределяется между отдельными элементами
сечения
М",=?м,.
Д ля отдельно взятого участка
1=1
192
M. M.l
= - 9 Ф = ,
Wt GJt
где Jt и Wt - моменты инерции сопротивления i - того участка.
Так как угол закручивания на всех участках одинаков т.е.
Ф = Фх=Фг =-Фп, ТО
Jf,
J к
а наибольшее касательное напряжение возникает на участке, имеющем
наибольшую толщину стенки SmaK и равно
193
ГЛАВА 14
ОБЩИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Общие или энергетические методы определения
перемещений упругих линейно деформируемых стержневых систем основаны на
анализе работы, которую выполняют внешние и внутренние силы при
