Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно представлениям теории Друдэ, электроны проводимости, участвуя в
тепловом движении, обладают средней тепловой энергией е = (3/2)квТ.
Следовательно, суммарная энергия теплового движения частиц одного моля
кристалла (с одним валентным электроном) будет составлять величину
^мет = ?реш + ¦-эл = 3NAkBT + -NАквТ = -NАквТ, (8.21)
поскольку в соответствии с законом Дюлонга и Пти вклад решеточной
теплоемкости составляет ?реШ = 3NAkBT. Следовательно,
188
Гл. 8. Электроны в металлах
молярная теплоемкость металлического кристалла в классическом
представлении должна иметь значение:
^ ^ = ^NAkB, (8.22)
т.е. в 1,5 раза превышать значение теплоемкости диэлектрика Сдиэл)
имеющего только решеточную составляющую. Однако из опыта известно, что
теплоемкость металлов, также, как и теплоемкость диэлектрика, при высоких
температурах близка к значению, предсказываемому законом Дюлонга и Пти (~
3NAkB). Это противоречие между опытом и теорией не могло получить
разрешения в рамках классических представлений.
8.3.3. Теплопроводность металлов. Закон Видемана-Франца.
Ранее (в гл. 5) рассматривались процессы переноса тепла в неметаллических
твердых телах, где единственным механизмом теплопроводности является
перенос энергии фононами. В металлах к этому добавляется электронный
механизм, причем его вклад при нормальных температурах становится
определяющим. Однако в классическом представлении расчет электронного
вклада в теплопроводность совершенно аналогичен ранее сделанному для
фононов (п. 5.2.3), поэтому окончательный результат для коэффициента
электронной теплопроводности можно получить, используя соотношение
(5.86), где величину "решеточной" теплоемкости следует заменить на
"электронную" теплоемкость, скорость звука - на среднюю скорость
теплового движения электронов и, наконец, длину свободного пробега
фононов - на длину свободного пробега электронов:
Хэл - 7^С'элУ'р\ - -С'элутт . (8.23)
Необходимо выяснить, какой из вкладов в теплоемкость - решеточный или
электронный - доминирует в металлах. Из эксперимента известно, что длина
свободного пробега фононов Афон ~ ~ 10_7см, А ~ 10_5см, тогда можно
оценить время пробега между столкновениями для фонон-фононных и электрон-
фононных процессов рассеяния:
АгЬон Ю 7 см 10
_ __ фон ~ ___________ ~ 1 о -12 п
гф-ф - - пс / - 10 С,
v3B 105 см/с
8.24
А 10 5 см 1Ч
гэ-ф = - = тутз г = 10 с.
vT 108см/с
Необходимо также знать величины соответствующих теплоемкостей. Если для
оценки решеточной теплоемкости при комнатной
8.3. Свойства металлов в приближении классической модели 189
температуре можно обоснованно использовать значение Среш = 3R (закон
Дюлонга и Пти), то для электронного вклада в теплоемкость классическая
теория дает необоснованно завышенное значение (п. 8.3.1). Реально при
комнатной температуре имеет место Сэл ~ 0,1Д. Тогда, используя
соотношения (5.86), (8.23) и оценки
(8.24), для отношения коэффициентов решеточной и электронной
теплопроводностей получим:
Из (8.25) следует, что при комнатной температуре в чистых металлах
преобладает электронный механизм в теплопроводности. В неупорядоченных
металлических сплавах вклады в теплопроводность могут оказаться одного
порядка. Например, нержавеющая сталь обладает весьма низкой
теплопроводностью по сравнению с чистым железом.
Вычислим отношение коэффициента теплопроводности металла к его удельной
электропроводности. Ясно, что вследствие оценки
(8.25) нужно взять только коэффициент электронной теплопроводности.
Используя выражение для средней скорости теплового движения электронов,
полученное из (8.18):
а также значение электронной теплоемкости на единицу объема, которое
легко получить из (8.21), для отношения коэффициента теплопроводности
металла к его удельной электропроводности имеем:
•эл _ (1/3)Сэлн2тт _ (1/3) • (3/2)nekB ¦ (3kBT/m0)
~ ~ (л /о\^ "2^/(tm) - (л /о\^ "2 ' (о-27)
либо, вводя обозначение - число Лоренца в классическом приближении:
Хэл _ Сэлу1тэ-ф ^ 10 1 • Д(108)2 • 10 13 Хф СрешФ^Гф-ф 3i?(105)2 • 10-12
^ 3 • 103. (8.25)
(8.26)
а
(1/2)пее2т/т0
(1/2)пее2/т0
2
/ к' Х':' 3 и 2 • 1(П8 Вт • Ом/К2
(8.28)
окончательно получим закон Видемана-Франца:
К Лгр
(8.29)
(7
который утверждает, что при не слишком низких температурах отношение
коэффициента теплопроводности металла к его удельной электропроводности
прямо пропорционально температуре, а
190
Гл. 8. Электроны в металлах
коэффициент пропорциональности (число Лоренца) является универсальной
постоянной (не зависит от химического состава металла). Сравнивая
выражение для числа Лоренца, полученного в классическом приближении, с
его значением, вычисленным на основе более точного квантово-механического
представления (8.2), тем не менее, можно убедиться в удивительно близком
совпадении этих величин, а также в соответствии теоретического и
экспериментального значений L для многих чистых металлов. Такое
совпадение - один из успехов классической теории и, в известной мере,
