Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
представляет собой вероятность того, что состояние с энергией е занято,
когда система частиц находится в тепловом равновесии при температуре Т.
Для вывода f(e) рассмотрим простую систему, в которой п\ электронов имеют
энергию Еi, П2 электронов - энергию Ё2- Пусть число разрешенных вакантных
состояний, которые могут занимать электроны с энергией Еi, равно Pi, для
электронов с энергией Е2 оно равно Pj. Распределение электронов по
состояниям (при данном значении энергии) будет сделано единственным
образом, если зафиксирован способ расположения электронов в данном
состоянии, который удобно представить как расположение электронов по
ячейкам с определенным номером к. В нашем случае к = Р\ или Pj. Поскольку
электроны
(8.50)
8.6. Закон распределения Ферми-Дирака
8.6. Закон распределения Ферми-Дирака
197
неразличимы, число способов распределении п\ электронов по Pi позицинм
равно числу сочетаний из Pi по пр.
Ш1 = Ср1 = Г7Т7~--------77- (8-51)
Pl ni!(Pi-ni)' v '
Действительно, число сочетаний применнют, чтобы вычислить количество
разных способов выбора т элементов из множества п, когда безразлично, в
каком порндке эти элементы выбираютсн.
Дли другой электронной подсистемы с числом электронов П2 и энергией i?2,
совершенно аналогично (8.51), запишем
= СЦ = -u~F7~ ТУ (8-52)
F2 п2!(Р2-п2)! V 7
Если рассматривать систему, включающую в себн указанные выше две
подсистемы электронов, то общее число состонний, в силу независимости
выбора в каждой из них, сводитсн к произведению величин ш 1 и oj2'¦
РДР2!
W = w1w2 = -----------------Г- ту. 8.53
ni!n2!(Pi - n1)\(P2 - n2)l
Без ограничении общности из этих двух подсистем можно составить третью,
следовательно, рассмотренные термодинамические системы могут
"перекрыватьсн". В результате электрон из одной подсистемы может заннть
вакантное состонние в другой подсистеме. Поскольку ранее никаких
ограничений на подсистемы не накладывалось, дли электронной системы,
состонщей из произвольного числа подсистем, формула дли подсчета числа
состонний может быть записана в общем виде:
"=и***-=Цщт-щГ (8'54)
Величина ш называетсн термодинамической вероятностью. В
отличие от математической веронтности, которан меньше или равна единице,
обратная ей термодинамическан веронтность может выражатьсн большими
числами. Между энтропией S системы из многих частиц и термодинамической
веронтностью существует важнан взаимосвнзь, установленнан JI. Больцманом:
S = kB In oj. (8.55)
Пусть полное число частиц N в системе постоннно и равно
N = '^2пк. (8.56)
198
Гл. 8. Электроны в металлах
Считаем также, что полная энергия системы электронов постоянна:
E = ^2nkEk. (8.57)
к
Взяв полные дифференциалы от (8.56) и (8.57), получим:
^2dnk = 0, 's^^Ekdnk = 0. (8.58)
к к
Прологарифмируем выражение (8.54):
In а; = ^(ln Рк\ - In пк \ - In (Рк - пк)\). (8.59)
к
Поскольку числа, входящие в правую часть (8.59), велики, для
преобразования логарифма удобно использовать формулу Стирлинга
In (n!) ~ п In п - п. (8.60)
Тогда выражение (8.59) упрощается:
In и = ^2(Рк In Рк - пк In пк - (Рк - пк) In (Рк - пк)). (8.61)
к
Энтропия замкнутой термодинамической системы, находящейся в равновесном
состоянии, стремится к максимальному значению. Из этого условия и из
(8.61) и (8.55) следует
d = d( 1пщ) = ?(ln (Рк ~ пк) - In nk)dnk = 0. (8.62)
Чтобы учесть условия (8.58) сохранения числа частиц и полной
энергии в системе, используем метод неопределенных множителей Лагранжа.
Для этого помножим каждое из условий (8.58) на неопределенные множители а
и /3, соответственно, и вычтем их из (8.62):
d{v~aN ~ =
= X]0n (Рк ~ (tm)к) ~ ln ((tm)fc) - a - (dEk)dnk = 0. (8.63)
к
Дифференциалы dnk - независимые, поэтому для выполнения условия (8.63)
следует приравнять величину в скобках к нулю:
In (Рк - пк) - In (пк) - a - /ЗЕк = 0. (8.64)
8.6. Закон распределения Ферми-Дирака
199
Значение nk - это равновесное (среднее) число электронов с энергией Ек.
Перепишем (8.64) в виде
-k--- = ехр (a + (ЗЕк). (8.65)
^к
Тогда среднее число электронов, приходящееся на одно квантовое состояние,
может быть получено из (8.65) так:
9к = ТГ = ГГ 1 дгу (8'66)
Рк 1 + ехр (а + (ЗЕк)
Необходимо выяснить смысл коэффициентов а и /3. Из равенства нулю левой
части выражения (8.63) следует:
1 f9S\ о 1 fdS\
" = ^Ыд р = ^{ш)я- (8'67)
Воспользуемся некоторыми термодинамическими соотношениями. Состояние
системы описывается потенциалом Гиббса или свободной энергией:
F = Е -TS + fiN, (8.68)
где Т - температура, S - энтропия, N - число частиц в системе, р -
химический потенциал.
Для функций состояния Е и F выполняются соотношения:
dE = TdS + pdN, (8.69)
dF = dE - SdT + pdN, или эквивалентные им равенства
(8.70)
200
Гл. 8. Электроны в металлах
Сравнивая (8.71) и (8.74) с (8.67), получим явный вид коэффициентов а и
/3:
" = (8'75)
/3 =
1
кЭГ'
Подставляя полученные коэффициенты в (8.66), получим:
1
9к =
1 + ехр ({Ек - р)/квТ)
(8.76)
(8.77)
Если в (8.77) совершить переход Е/ -> е, где е - энергия произвольного
