Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
некоторого определенного атома)г чтобы получить волновую функцию,
отличную от нуля во всей решетке (фиг. 51).
\ / г 1 L f 1 \
I \1
Фиг. 51. Волновая функция электрона в твердом теле.
Пусть фа (г - I) - волновая функция электрона в свободном атоме,
расположенном в точке I. Тогда легко построить функцию, удовлетворяющую
условию Блоха (1.58):
Это есть сумма сильно локализованных атомных волновых функций,
помноженных на осциллирующий фазовый множитель ехр (гк •?). 'Внутри
каждого атома главную роль будет играть соответствующая атомная функция,
с хорошей точностью удовлетворяющая локальному уравнению Шредингера.
В качестве первого приближения вычислим с этой волновой функцией среднее
значение энергии
Если атомные волновые функции соседних ячеек перекрываются не слишком
сильно, то нормировочный множитель в знаменателе
<Мг) = 2е*-г<ы Г-г).
I
(3.24)
(3.25)
§ 4. Метод сильной связи
111
можно, по всей видимости, положить равным единице. Числитель же можно
переписать в виде
Ш (к) " 2 J Ф*(г~ п { -SrV2 + r(r)} фа (г -г) dr =
IV
= 2 eik,bSb, (3.26)
h
где
gh=^j Ф* (г + h) {_|lv2 + r (г)}фа(0*. (3.27)
Здесь принято во внимание, что в силу периодичности потенциала решетки
различные интегралы зависят только от вектора h = = I - Г - расстояния
между узлами решетки, около которых центрированы соответствующие атомные
функции.
Пусть функция фа (г) удовлетворяет уравнению
{-!Г^ + МГ)} фа(г) = ёафа(т), (3.28)
где теперь va (г) есть потенциал изолированного атома, расположенного в
точке г = 0.
Пренебрегая возникающими интегралами перекрытия, получаем
Шо " Ша,
1 1* (3.29)
Фа (Г + Ь) {Г (Г) - Va (Г)} фа (г) *.
Чтобы интеграл не обратился в нуль, должно, очевидно, иметь место
некоторое перекрытие функций фа (г + h) и фа (г). Это перекрытие будет
усилено за счет повышения потенциала вблизи атома, расположенного в узле
h. Все же следует ожидать, что величина Йь будет очень мала для всех
атомов, кроме ближайших соседей.
Рассмотрим простую кубическую решетку [h = (а, 0, 0) и т. д.]. Тогда
% (к) лг Ша -f- 2%100 (cos акх + cos аку + cos akz), (3.30)
если фа (г) имеет симметрию куба. В этом случае зона Бриллюэна
представляет собой, разумеется, куб, и поверхности постоянной энергии
имеют вид, показанный на фиг. 52. Из выражения (3.29) легко усмотреть,
что величина §100 существенно отрицательна. Мы получили энергетическую
зону, ширина которой равна
12 l&100 I, а наименьшая энергия - (Ща + 6 §100).
Функция Щ (к), рассматриваемая в направлении оси куба, имеет минимум при
к = 0 и максимум на границе зоны Бриллюэна, где к = (я/а, 0, 0). Внешне
это напоминает кривые, полу-
112
Гл. 3. Электронные состояния
чаемые в модели почти свободных электронов (см. фиг. 38), однако кривизна
у основания зоны в данном случае зависит от параметра §10о- В делом
структура зоны определяется интегралами типа (3.29), которые весьма
чувствительны к деталям поведения атомных волновых функций вне атомного
остатка, а также к значению постоянной решетки. Очевидно, что зона будет
сужаться при увеличении степени локализации атомных функций или при
увеличении постоянной решетки.
Метод сильной связи позволяет усмотреть одну важную закономерность.
Возьмем N атомов и разместим их вдали друг от друга.
Фиг. 52. а - линии постоянной энергии; б - функция % (к) вдоль оси куба
(метод сильной связи).
Каждый атом обладает различными уровнями; соответствующие им волновые
функции пусть будут фа, фъ, фс• Очевидно, они описывают -/V-кратно
вырожденные одноэлектронные состояния всей системы.
При сближении атомов атомные функции перекрываются и уровни, ранее iV-
кратно вырожденные, расщепляются, образуя зоны. Каждому атомному уровню
отвечает зона, содержащая N состояний. Можно говорить о Зя-зонах, 4р-
зонах и т. д., возникающих из соответствующих атомных уровней. Эта
классификация особенно удачна в случае переходных металлов, у которых
атомные d-функции довольно компактно расположены в пределах атомного
остатка, в результате чего образуется относительно узкая и хорошо
определенная d-зона.
Однако из фиг. 53 ясно, что различные зоны могут столь значительно
расшириться, что начнут перекрываться. В таком случае простая методика,
которую мы здесь рассмотрели, должна быть видоизменена: волновая функция
системы должна представлять собой линейную комбинацию атомных функций
^ = Це*-%ф{1>{т-1). (3.31)
Ч
§ 4. Метод сильной связи
113
Здесь (г - I) есть одна из атомных функций, центрированных около точки I.
Теперь нужно воспользоваться выражением (3.31) как пробной функцией при
вычислении энергии. Последняя минимизируется подходящим выбором
коэффициентов Pj. Очевидно, таким путем мы придем к системе линейных
уравнений, причем коэффициенты в ней будут зависеть от выражений типа Шь
в формуле (3.2(5). Эти выражения в свою очередь включают в себя инте-
Энергетические зоны в твердом теле
N-кратное
вырождение
N-крагпное
вырождение
N-кратное
вырождение
Уровни " свободных атомов
