Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
того же вида, что и в предыдущем параграфе, причем
^(г) = 2М т-7). (3.68)
Подставляя это выражение в уравнение (3.66), получаем
<г):= --к 2 1 -|'г-г^г'|} ^-0у(Оdr'' (З-69) t
где интегрирование ведется только по ячейке с центром в точке I, так как
потенциал va (г - I) во всех остальных ячейках равен нулю.
Мы ищем функции Блоха. Этим обстоятельством можно воспользоваться, чтобы
заменить аргумент в функции гр (г') на г' - I = г". Тогда
Ч* (г) = - 2 j ехрН_Гг~г |} Va (г' - I) е"ч*рк (г' - I)
dr' =
I
= ~ IK J (х' к; г" г')> (г") <г") *'• (3-7°)
По существу, мы утверждаем теперь, что волновая функция в точке г есть
сумма вкладов волн (с подходящими фазовыми множителями), рассеянных
каждой из ячеек I и т. д. Поскольку все ячейки тождественны, можно ввести
структурную функцию Грина, или гриниан
G (к, к; г- г") ^ ° (3-71)
i
которая дает эффект в точке г за счет волн, рассеянных в точке г", а
также во всех эквивалентных точках в других ячейках (фиг. 59, б). Таким
образом, чтобы получить всю волновую функцию, нужно проинтегрировать лишь
по одной ячейке.
Следующий шаг состоит в построении функционала, вариация которого
приводит к интегральному уравнению (3.70). Легко показать, что искомый
функционал имеет вид
А = N j (г) va (г) г|)к (г) dr +
+ j j (r) va (r) G (я, к; г - г") va (г") г|>к (г") dr dr". (3.72)
Здесь интегрирование ведется только по одной ячейке. Поскольку потенциал
равен нулю вне любой из атомных сфер, область интегрирования можно в
каждом случае ограничить сферами г, г" ^ Es.
128
Гл. 3. Электронные состояния
Возьмем теперь пробную функцию внутри каждой ячейки в виде (3.59)
1*(г)=2Сгт.Жг(г)Угт(0, ф). (3-73)
1т
Очевидно, в конечном итоге функционал (3.72) представит собой
квадратичную функцию коэффициентов С[т
2 Л;т; I'm'CimCpm>. (3.74)
lm\ Vm'
Далее, условие стационарности дает систему линейных уравнений,
детерминант которой | Лгт; Vm> | должен обратиться в пуль.
а 6
Фиг. 39. Обычная функция Грина (а), описывающая распространение волны из
точки г' в точку г, заменяется структурной функцией Грина (б); последняя
объединяет волны, идущие из всех эквивалентных точек решетки г".
Этот детерминант есть функция волнового вектора к и энергии % = и2. Корни
детерминанта устанавливают искомые соотношения, определяющие различные
ветви функции Ж(к).
Небезынтересен и фактический вид этого детерминанта. Элементы его даются
выражением
Л-lm; l'm' = Aim; Гт' -i-X'in'dmm' "4- • (3.75)
Коэффициенты Лгт;;'т' определяются структурой кристалла. Они появляются
из разложения функции Грина (3.71) по сферическим гармоникам, зависящим
от полярных углов векторов г и г". Эти коэффициенты зависят от х и к, но
во всех других отношениях они определяются только структурой решетки.
Фактические формулы очень сложны, поскольку в них входят коэффициенты
Клебша - Гордана и сферические функции Бесселя /г и гег от различных
аргументов. При вычислении решеточных сумм здесь оказывается полезным
метод Эвальда (§ 3 гл. 2), что можно было пред-
§ 9. Модельные псевдопотенциалы
129
видеть уже на основании вида знаменателей. Тем не менее для каждой данной
структуры коэффициенты А гт; Гт> можно табулировать раз и навсегда.
Атомный потенциал входит в (3.75) через логарифмическую производную Ьг
радиальной функции 5?г, взятую на поверхности сферы - так же как и в
формуле (3.65). Это связано с тем, что пробная функция (3.73)
удовлетворяет внутри атомной сферы уравнению Шредингера, и поэтому
подынтегральные выражения в формулах (3.70) и (3.72) можно переписать с
учетом равенства
ya(r)^k(r)==(V2 + S)i|3k(r). (3.76)
Пользуясь далее теоремой Грина, приходим к поверхностным интегралам, в
которых фигурируют производные от функции Грина [они появляются и в
формуле (3.75) в виде функций п\ и Ц\ и производные радиальной функции. В
этом методе существенно предположение о сферической симметрии (вблизи
каждого атома) потенциала иа (г).
Отсюда ясно, что метод функций Грина (известный еще как метод Корринги,
Кона и Ростокера, или ККР) очень похож на метод присоединенных плоских
волн. В последнем методе строится разложение по сферическим гармоникам
(до желаемого порядка), после чего нужно решить секулярное уравнение,
возникающее в связи со вкладами от различных векторов .обратной решетки.
В методе ККР по всем векторам решетки [фактически после фурье-
преобразования функции G (х, к; г - г") -по векторам обратной решетки]
берется сумма, но затем (за счет вкладов от различных сферических
гармоник) вновь возникает секулярный детерминант. Для применения обоих
методов нужны быстродействующие вычислительные машины, и оба они вполне
"работоспособны". Преимущество метода ККР состоит в том, что в элементах
детерминанта структурные и атомные свойства разделяются и потому их можно
рассчитать отдельно и быстро объединить. Преимущество метода
присоединенных плоских волн состоит в том, что он дает лучшую картину
волновых функций вне атомной сферы.
§ 9. Модельные псевдопотенциалы
