Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
45, ничем не выделены на поверхностях равной энергии; контурные линии
плавно проходят через них. Вспомнпм теперь, что сама основная зона Брил-
люэна есть элементарная ячейка обратной решетки. Трансляциями на векторы
обратной решетки ее можно повторить и получить сетку, покрывающую все k-
пространство. Кроме того, точки типа Р и Р', которые были эквивалентны и
представляли поэтому одни и те же состояния с одинаковыми энергиями,
теперь совпадают, так что функция % (к) оказывается непрерывной также и
прп пересечении соответствующих границ. Можно показать, что контуры
постоянной энергии плавно переходят из одной ячейки в другую. Таким
образом, в пределах данной энергетической зоны энергия представляет собой
непрерывную функцию вектора к с периодом обратной решетки. Мы называем
такое представление схемой повторяющихся зон (фиг. 47). Оно получено по
тому же в точности принципу, что и представление, с которым мы
сталкивались в § 2 гл. 2 в связи с изучением поверхностей постоянной
частоты для колебаний решетки.
Этот принцип находит себе интересное применение в методе Харрисона,
используемом при построении поверхности Ферми для металлов с валентностью
Z (в схеме повторяющихся зон). Пусть возмущающий потенциал в схеме почти
свободных электронов очень мал. Тогда поверхности постоянной энергии
должны быть сферами. Вычислим радиус сферы, объем которой равен объему
зоны Бриллюэна, умноженному на V2Z, и построим ее, выбрав центр в начале
координат. Построим такую же сферу около каждого узла обратной решетки и
таким путем получим сетку с периодичностью, характерной для схемы
повторяющихся зон (фиг. 48).
Из этой сетки можно выбирать различные части, непрерывно переходящие друг
в друга и образующие поверхности, повторяющиеся в каждой зоне Бриллюэна.
Каждая из таких отдельных фигур составляет ветвь поверхности Ферми, или
часть поверхности Ферми, относящуюся к 1-й, 2-й, 3-й и т. д. зонам
Бриллюэна (фиг. 49). Поскольку эти поверхности построены из сфер, в
местах соединения отдельных частей их, казалось бы, должны возникнуть
острые выступы. Однако смешивание состояний, связываемых фурье-
компонентами потенциала, приведет к округлению углов и к образованию
гладкого геометрического объекта. Как мы увидим в гл. 9, получающиеся
таким путем поверхности часто весьма похожи на те, которые можно
наблюдать экспериментально. Они, несомненно, дают полезный ориентир при
исследовании поверхностей Ферми сложных металлов.
Фиг. 47. Первая зона Бриллюэна в Фиг. 48. Построение Харрисона для
схеме повторяющихся зон (ср. фиг. поверхности Ферми свободных элек-
¦46). тронов.
Первая зона Бриллюэна (заполнена)
Третья зона Бриллюэна Четвертая зона Бриллюэна
Фиг. 49. Приведенные зоны для случая фиг. 48.
§ 4. Метод сильной связи
109
Те же формулы и геометрические построения возникают и в динамической
теории дифракции (§ 6 гл. 2). Пучок распространяющихся в решетке быстрых
электронов или рентгеновских лучей, для которого почти выполнены условия
дифракции (3.11), нельзя более рассматривать как простую плоскую волну с
единственным волновым вектором к. В волновую функцию пучка, так же как и
в функцию (3.12), необходимо включить различные дифрагированные волны,
что изменит скорость возникающего возбуждения. Например, вблизи простой
границы зоны надо взять сумму по крайней мере двух волн; это приведет к
квадратному уравнению типа (3.17), два корня которого определят энергии
электронов или фотонов в зависимости от вектора к.
С помощью этих корней можно построить поверхности постоянной энергии,
показанные на фиг. 50. Исходные сферы "свободных фотонов" с радиусом vie
и с центрами в точках обратной решетки Р и Q, которые пересекались бы в
точке О на границе зоны (ср. фиг. 29 и 37), расщепляются теперь на два
гиперболоида. Поэтому точки типа S или S' изображают электромагнитное
возмущение частоты v, распространяющееся в кристалле в виде комбинации
двух плоских волн с волновыми векторами SP и SQ или S'P и S'Q. Условие
согласования с падающим рентгеновским излучением данной частоты приводит
к возбуждению лучей, соответствующих обеим ветвям поверхности постоянной
энергии. В результате возникают интерференционные эффекты (см. § 6 гл.
2). С точностью до изменения масштаба (волновые векторы рентгеновского
кванта или быстрого электрона обычно гораздо больше типичного вектора
обратной решетки) фиг. 50 действительно полностью совпадает с фиг. 42.
§ 4. Метод сильной связи
В методе почти свободных электронов рассматриваются волновые функции вне
атомных остатков, т. е. там, где они очень похожи на плоские волны. С
другой стороны, внутри атомов эти функции
Фиг. 50. Поверхность постоянной энергии в динамической теории дифракции
рентгеновских лучей или быстрых электронов.
110
Гл. 3. Электронные состояния
подобны атомным. Это обстоятельство подсказывает совершенно иной способ
построения электронных волновых функций. Именно можно попытаться
скомбинировать атомные функции (каждая из которых локализована вблизи
