Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
иона должна вести себя подобно атомной волновой функции - с несколькими
осцилляциями, соответствующими большой кинетической энергии. Это опять
означает, что в представлении (3.12) нужно сохранить много членов вплоть
до самых коротких длин волн.
Изложенные соображения сводят на нет значение метода почти свободных
электронов как практически приемлемой схемы расчета зонной структуры.
Оказывается, однако, что его можно сделать формально пригодным для этой
цели, если ввести представление о псевдопотенциале. Эта точка зрения
будет развита в § 6 настоящей главы.
Модель почти свободных электронов весьма полезна как прием,
иллюстрирующий ход функции Щ (к) в к-пространстве. Рас-
§ 3. Модель почти свободных электронов
105
смотрим случай (двумерной) прямоугольной решетки. При этом обратная
решетка также прямоугольна (фиг. 43). Легко построить первую зону
Бриллюэна - это есть прямоугольник RR R"R'". Функция % (к) должна быть
непрерывна внутри зоны Бриллюэна, но на любой из линий, очерчивающих эту
зону, она может иметь разрывы.
Рассмотрим, как расположены точки разрыва функции % (к) вне центральной
зоны Бриллюэна. Они могут лежать на перпендикулярах, проходящих через
середины любого из векторов обратной решетки. Таким образом, разрывы
возможны на любой из линий изображенной фигуры - например, вектор g3
разбивает пополам диагональная линия, проходящая через угол зоны
Бриллюэна.
Первоначальная фигура (см. фиг. 41), на которой изображена линия
разрывов, неверна - она не показывает всего, что могло бы встретиться
даже в случае квадратной решетки. Так, скачки функции Щ (к) и
соответствующие щели в спектре могли бы возникнуть в точках Хъ Х2,
Х3, и т. д. (см. фиг. 43).
В связи со сказанным могло бы показаться, что функция е (к) гораздо
сложнее, чем на самом деле. Представим себе, например, что мы попытались
изобразить линии постоянной энергии исходя из модели почти свободных
электронов. Они выглядели бы так, как это изображено на фиг. 44 (мы
сконцентрировали внимание на области, ограниченной указанным набором
плоскостей). Эти линии можно построить, рисуя круги, характерные для
свободных электронов, и вводя разрывы так, как это показано на фиг. 42.
Можно было бы также явно решить секулярное уравнение для энергии волн,
смешивающихся в рассматриваемой точке. Так, волна в точке Р
перепутывается с волной в точке Р', поскольку обе эти точки в схеме
свободных электронов отвечают одинаковой энергии и они отличаются только
на вектор обратной решетки. Аналогично, чтобы найти решение в точке Q,
нужно рассмотреть детерминант размерности 3x3 для волн, волновые векторы
которых в модели свободных электронов равны OQ, OQ' и OQ".
Из сказанного следует, что в точках Р и Р' мы будем решать одинаковые
уравнения. Уровни энергии в обеих точках будут
Фиг. 44. Линии постоянной энергии в прямоугольной зоне Бриллюэна.
106
Гл. 3. Электронные состояния
одинаковы. Нижний из них отнесем к внутренней области первой зоны
Бриллюэна, тогда верхний уровень в каждом случае принадлежит линии
постоянной энергии, проходящей вне границы зоны Бриллюэна. Точно так же и
в точках Q, Q' и Q" уравнения будут одинаковыми и будут найдены три
корня, отвечающие трем значениям энергии. Корень, отвечающий наименьшей
энергии (в каждой из трех точек), можно отнести к области внутри границ,
показанных на фиг. 44. Следовательно, во всех трех точках энергия
одинакова. Можно обратиться к окрестности этих точек и показать подобным
же образом, что точки А и А', В и В', С и С' попарно эквивалентны в том
же смысле. Точки А и А' суть
лишь различные обозначения одной н той же волновой функции; они
приводятся друг к другу с помощью трансляции на вектор обратной решетки.
Посмотрим теперь, что произойдет, если кусочки, из которых состоит
рассматриваемая картина вне первой зоны Бриллюэна, перенести на векторы
обратной решетки. Они отлично подойдут друг к другу и образуют единую
зону: в схеме расширенных зон все эти кусочки принадлежат второй зоне
Бриллюэна. Кроме того, эквивалентные точки границы подгоняются таким
образом, чтобы линии были непрерывны (фиг. 45). Энергия в приведенной
зоне Бриллюэна есть непрерывная функция вектора к.
Получающееся представление для поверхностей равной энергии имеет вид,
показанный на фиг. 46 (для изображения каждой
Фиг. 45. Приведение к одной зоне Бриллюэна.
Вторая зона Бриллюэна Фиг. 46. Схема приведенных зон для фиг. 44.
ветви берется отдельная зона). Можно считать, что линии в этих зонах
относятся к различным поверхностям, и наложить одну картину на другую.
Тогда энергия Е (к) окажется многозначной функцией вектора к в
приведенной зоне Бриллюэна. Ранее мы имели однозначную функцию % (к),
определенную, однако, в схеме расширенных зон.
§ 3. Модель почти свободных электронов
107
Можно пойти дальше. Можно показать (например, в рамках модели почти
свободных электронов), что функция Щ (к) в каждой ветви непрерывна и
имеет непрерывные производные. Внутренние границы, изображенные на фиг.
