Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
вектору g, проходящем через его середину (фиг. 37). Иными словами,
простое разложение теории возмущений (3.9)
несправедливо, когда вектор к лежит на границе зоны Бриллюэна (или вблизи
нее). Формулу (3.9) можно применять, лишь когда сфера невозмущенных
состояний не достигает границы зоны Бриллюэна - практически даже для
одновалентных металлов это условие выполняется редко.
Фиг. 37, Заметим, что на фиг. 37 изобра-
жено в сущности пе что иное, как построение Эвальда (фиг. 29, б),
описывающее когерентную брэгговскую дифракцию электрона с волновым
вектором к в направлении вектора к' = к -g. В обоих случаях
геометрическое условие состоит в том, что треугольник OPQ должен быть
равнобедренным, причем его основанием PQ служит вектор обратной решетки
g. Таким образом, мы подтвердили расчетом утверждение о том, что
валентные электроны испытывают дифракцию на решетке так же, как и
электроны, падающие извне.
Чтобы отыскать решение в окрестности границы зоны Бриллюэна, надо явно
рассмотреть уравнения теории возмущений. Свойство периодичности решетки
приводит, в частности, к тому, что потенциал может связывать лишь
состояния с волновыми векторами, различающимися на вектор обратной
решетки g. Поэтому мы принимаем, что волновую функцию можно разложить в
ряд
(3.12)
Если этот ряд подставить в уравнение Шредингера
{~Srv2+rw}'
(3.13)
§ 2. Дифракция валентных электронов
99
н помножить последнее на один из членов разложения (3.12), то получатся
линейные уравнения для коэффициентов а
причем вектор g принимает все значения (включая g = 0 и g' = 0). Как
известно, простая формула теории возмущений (3.9) получается, если
считать малыми все коэффициенты otk-g, кроме коэффициента ак.
Действительно, тогда
Именно это допущение становится несправедливым, когда вектор к лежит
вблизи границы зоны Бриллюэна, например вблизи границы, проходящей через
середину вектора G. Коэффициент при функции exp{t (k -G)-r} становится
тогда столь же важным, сколь и коэффициент при исходной невозмущенноп
волновой функции. По существу здесь происходит брэгговское отражение
электронов от решетки точно так же, как если бы это был внешний
электронный пучок. Условие (3.11) эквивалентно условиям (2.79) и (2.80)
(см. § 6 гл. 2). При составлении волновой функции стационарного состояния
падающий и дифрагированный пучки должны рассматриваться на равных правах.
Приближенное решение задачи можно получить, отбрасывая в уравнениях
(3.14) все коэффициенты, кроме упомянутых двух. Тогда, сдвигая начало
отсчета энергии на ТГ0, мы приходим к системе двух уравнений
Детерминант ее квадратичен по §(к), и нули его даются выражением
%± (к) = ± (g? + ± 4- V - ??-g)2 + 41TG |2 • (3.17)
(Здесь принято во внимание, что = Т*ж.) Таким образом,
функции ехр (гк-г) и ехр [г (к -G)-г] смешиваются и возникают новые
волновые функции я|)+ и я|з", принадлежащие собственным значениям энергии
Щ+ и .
Для простоты рассмотрим, что происходит в одномерном случае. Вблизи точки
к = 0 разность невозмущенных энергий столь велика, что слагаемым 4 | У &
\2 можно пренебречь. Находим
{gi-g-g(k)}ak_g + Srg'-gok-g< = 0, (3.14)
ak_g
(3.15)
{Шк - % (k)} ак+УGak-G = 0, ^"-Gak+ {^k-G - Ш (к)} ak_G = 0.
(3.16)
g(k) ~ gj>.
(3.18)
Таким образом, волновой функции я|з отвечает параболический закон
дисперсии, характерный для свободного электрона. В точке
100
Гл. 3. Электронные состояния
k = V2G, т. е. на границе зоны Бриллюэна, обеим невозмущенным волновым
функциям отвечает одна и та же энергия; поэтому
%-(iG) = $bzG-\rG\. (3.19)
Энергия электрона в состоянии с волновой функцией ij)_ по сравнению с
энергией свободного электрона уменьшается на \ Tq\- Так обстоит дело в
точке А на фиг. 38. Состоянию с волновой функцией ij)+ на границе зоны
отвечает энергия
g+(i.G)^g?/2G + |rG|.
(3.20)
Это значение выше, чем для свободного электрона. Если вектор к изменяется
в пределах зоны Бриллюэна, то энергия рассматриваемого состояния при
уменьшении к стремится к ёь-G- Таким
образом, возникают две энергетические зоны, разделенные щелью АВ шириной
2 \ Т'q \.
Поучительно сравнить фиг. 38 с фиг. 14. Под действием периодического
потенциала схема приведенных зон, довольно искусственная в случае
свободного электрона, разбивается на энергетические зоны. Этот результат
можно представить иначе, если начертить ветвь 4)+ во второй зоне в схеме
расширенных зон (фиг. 39). При этом яснее видно, как параболический закон
дисперсии превращается в возмущенный энергетический спектр -вводятся лишь
разрывы на границах зоны Бриллюэна. Это явление аналогично рассмотренному
в § 2 гл. 2 (фиг. 19, в), где введение двух различных масс привело к
расщеплению колебательного спектра решетки. Чтобы лучше понять
происходящее, найдем волновые функции в точке к = V2G. Пусть величина ITg
отрицательна. Из формул (3.12) и (3.16) находим
-atzGr _ г_ у
Фиг. 38. Энергия электрона в одномерном случае (схема приведенных зон).
eiV2Gr + e-
