Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
определяется, конечно, путем решения задачи на собственные значения
(2.13) для частоты vq.
Гамильтониан, учитывающий лишь гармонический член, очень просто
выражается через введенные операторы
S6o= 2 + (2.130)
По поляризациям q
§ 11. Фонон-фононное взаимодействие
87
Собственные функции этого гамильтониана описывают состояния с заданным
числом фононов. Например, в состоянии, описываемом функцией | тгч >,
имеется тгч квантов q-й моды. Подставляя выражение (2.129) в
ангармонический член (2.127), получаем очень сложное выражение,
содержащее произведения операторов aq, aq-и т. д. Например, возникает
член, содержащий (после перестановки некоторых символов) выражение
6q_q'_qwt gflq(2q'flq". (2.131)
Если рассматривать его как возмущение, добавленное к невоз-мущепному
гамильтониану Зв0, то он приводит к переходам, в которых возникает один
фонон в состоянии q и уничтожается по одному фонону в состояниях q' и q".
Правило отбора для такого перехода имеет вид
q'+q' = q-g. (2-132)
Оно напоминает условие (2.100). Если бы вектор g равнялся нулю, мы
сказали бы, что квазиимпульс сохраняется: импульсы
Щ' и /zq" уничтожаются и возникает импульс hq. Если вектор g
не равен нулю, то квазиимпульс уже не сохраняется, но он может меняться
лишь на величину hg. Таким образом, взаимодействие фононов с фононами
приводит как к N-, так и к ^/-процессам подобно тому, что происходит при
рассеянии внешнего пучка рентгеновских лучей. Имеются, очевидно, и другие
процессы, в которых один фонон уничтожается, а два порождаются [они
вызываются возмущением, сопряженным с (2.131)].
Можно показать, что для реальных процессов энергия должна сохраняться: в
случае (2.132) должно быть
/zVq' + /iVq":=/zVq. (2.133)
Это можно обосновать, рассматривая временную зависимость фук-ций,
описывающих колебания решетки.
Очевидно, на самом деле коэффициенты фонон-фононного взаимодействия очень
сложны, так как они получаются из ангармонических коэффициентов,
перепутанных с векторами поляризации. Правила для реальных переходов
между колебаниями различной поляризации также сложны, поскольку они
зависят от возможности одновременно удовлетворить законам сохранения
энергии и квазиимпульса. Ясно также, что могут быть процессы фонон-
фононного взаимодействия и более высокого порядка, когда, скажем, п
фоыонов уничтожается, а п' порождается. Такие процессы связаны либо с
членами порядка (п + п') разложения потенциальной энергии в ряд Тейлора,
либо с членами высшего порядка теории возмущений. При этом должны
удовлетворяться правила отбора, аналогичные (2.128), - полное изменение
квази-
88
Гл. 2. Колебания решетки
импульса должно быть равно fig, где g - либо нуль, либо вектор обратной
решетки.
Процессы фонон-фононного взаимодействия важны в теории решеточной
проводимости. Мы вернемся к этому вопросу в § 10
Изложенный выше подход к динамике решетки нуждается в известной
модификации при переходе к описанию квантовых кристаллов (особенно
твердого гелия), в которых амплитуда нулевых колебаний атомов сравнима с
постоянной решетки. В этом случае ряды нестационарной теории возмущений,
составленные из коэффициентов все более и более высокого порядка
(описывающих последовательно все более и более сложные процессы
взаимодействия фононов), уже не сходятся абсолютно. Формально можно
получить даже отрицательные значения силовых постоянных второго порядка
(2.4), вычисляемых как производные от потенциальной энергии при
равновесном расположении атомов решетки. Во избежание этих несуразностей
следует воспользоваться одним из стандартных приемов теории многих тел,
например диаграммной техникой или разложением по связанным группам. Таким
путем можно было бы перенормировать все коэффициенты взаимодействия,
выполнив суммирование тех или иных бесконечных подпоследовательностей
ряда теории возмущений. Альтернативный путь, физически более прозрачный,
состоит в выборе пробных атомных функций в духе метода Хартри и в
отыскании вариационных условий, налагаемых на параметры. Результаты в
обоих случаях оказываются почти одинаковыми. Фононный спектр, энергия
взаимодействия фононов с фононами и т. д. имеют вполне нормальный вид;
однако эффективные силовые постоянные, равно как и коэффициенты более
высоких порядков, следует определять самосогласованным путем. Так, вместо
(2.4) надо писать примерно следующее:
причем производные от потенциальной энергии по смещениям усредняются с
волновой функцией фононов |), соответствующей тем же значениям силовых
постоянных.
Кристаллы, с которыми мы имеем дело на опыте, никогда не бывают
идеальными, равно как и бесконечно протяженными. По этой причине
необходимо рассмотреть, как влияют структурные дефекты и наличие
поверхностей на колебания решетки. Это - проблема, не имеющая конца. Она
ведет к таким трудным задачам, как динамика полностью неупорядоченных
систем, напри-
гл. 7.
(2.134)
§ 12. Колебания веидеальвой решетки
§ 12. Колебания неидеальной решетки
