Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
дифракция определялась бы тогда квадра-
х) От немецкого слова Umklapp.- Прим. перев.
*) От английского слова Normal.- Прим. перев.
§ 9. Фактор Дебая - Уоллера
79
том модуля матричного элемента (2.86), который в свою очередь
пропорционален квадрату модуля структурного фактора
5(К)^
,-{к.лг
_iK.(R, -R,
Дифракционная картина зависит от фурье-образа парной функции корреляции Р
(R) - вероятности обнаружить два атома на расстоянии R друг от друга. В
жидкости это есть не что иное, как обычная радиальная функция
распределения.
Это рассуждение легко обобщить и показать, что амплитуда неупругой
дифракции S (K,v) дается двойным фурье-образом функции корреляции Р (R,
t), зависящей от времени. Последняя функция дает вероятность обнаружить
какой-нибудь атом в точке R в момент t при условии, что атом (возможно,
тот же самый) определенно находился в точке О в момент 0. Например,
исследование дифракции нейтронов позволяет измерить частотный спектр
флуктуаций плотности с волновым вектором К - физическую величину, которая
описывается очень острой функцией только для решеток, относительно
близких к идеальной. Подобным же образом поляризованные нейтроны
дифрагируют на флуктуациях спиновой плотности. Последние описываются
аналогичными функциями корреляции или их фурье-образами, зависящими от
пространственных координат (или от импульсов), а также от времени (или от
энергии).
§ 9. Фактор Дебая - Уоллера
Слагаемые в формуле (2.97), соответствун^щие процессам рассеяния с
участием одного фонона, не исчерпывают всего, что может войти в
структурный множитель (2.95). Легко видеть, что перемножение сомножителей
типа (2.96), а также следующих за ними членов разложения экспоненты дает
вклады, содержащие различные произведения множителей вида Uq exp (щ-l).
Про каждый такой множитель можно сказать, что он соответствует порождению
или уничтожению фонона, и, следовательно, такие произведения отвечают
многофононным процессам.
Вообще говоря, вероятность этих процессов быстро убывает по мере
увеличения их порядка, и они не вносят существенного вклада в фон
неупругой дифракции. Есть, однако, важный класс слагаемых, которые
происходят от квадратичного члена -| K*Uq |2 в разложении (2.96) и дают в
среднем немалый вклад. Взглянув на формулы (2.95) и (2.96), можно
заметить, что матричный элемент
80
Гл. 2. Колебания решетки
как упругого, так и неупругого рассеяния должен содержать множитель
e-2w = [J{1_|K.Uq|2}) (2.104)
q
где произведение теперь берется по всем векторам q.
Он называется фактором Дебая - Уоллера. Мы записали его в такой форме,
желая воспользоваться известным равенством
N N
Нт П (* - =ехР { ~^т Jf 2 > (2.105)
п=1 П=1
дабы преобразовать произведение в сумму. Таким образом,
e-2W__ ехр { - 2 I K-Uqpl, (2.106)
q
или
Ж = у2 i K-Uq |2. (2.107)
q
Чтобы вычислить эту сумму, надо знать амплитуду q-ro колебания
решетки Uq. Она будет функцией температуры. Мы знаем,
что средняя энергия такого колебания дается формулой (2.47):
Г- , 1
Шц - ( Wq -f- ~2 ) hvq,
где nq - среднее число фононов данного типа, определяемое формулой Бозе -
Эйнштейна (2.46).
В классической механике энергия простого гармонического колебания
вычисляется как сумма кинетической и потенциальной энергий. Последние,,
как известно, одинаковы *). Таким образом, равенства (2.1) и (2.8) дают
g = 2 Ms \usl I2 = 2 NMSI Utq I2 = 2 NMav\ I Usq |2. (2.108)
si sq sq
Если на элементарную ячейку приходится всего один атом массы М, то
ITT |2". ^q ("q+Va)" (2 1091
luq| - NMv\- NMvq • ^ '
Так как вектор Uq известен для каждой ветви спектра колебаний решетки, то
мы можем в принципе точно рассчитать фактор Дебая - Уоллера.
х) Имеются в виду средние значения.- Прим. ред.
§ 9. Фактор Дебая - Уоллера
81
Чтобы посмотреть, как он ведет себя, рассмотрим дебаевскую модель с
одинаковыми скоростями для всех трех мод. Для любой заданной поляризации
в среднем получим
|К.и"|2=4я2|Ц|2. (2.110)
При учете трех различных поляризаций множитель 73 пропадает 1).
С учетом выражений (2.46), (2.56) и (2.109) мы имеем 1 П 1 f f Г Па+11
VD
1 №K? fr 1 , 1 1 3v2
J { e"v|ftT_1 + 2 }
dv --
0/Г
3 ШКР-П
2 Mk@ 3
0
Здесь приняты те же обозначения, что и в формуле (2.57).
При высоких температурах верхний предел интеграла мал и экспоненциальный
множитель в подынтегральном выражении можно разложить в ряд по степеням
z. В результате получаем
"г 3 №К*Т ,9 .. 9,
~2~Мкв^' <2-112)
Таким образом, интенсивность рентгеновской дифракционной картины,
пропорциональная квадрату модуля матричного элемента а/Мк'к, уменьшается
в
6-2W ^ е-зл2к2г/МА02 (2.113)
раз. Множитель (2.113) очень сильно зависит от температуры, а также от
длины вектора рассеяния. Тот же результат получился бы, если бы при
расчете средней энергии каждого колебания мы воспользовались классической
статистикой (тогда мы имели бы, очевидно, <fq = кТ).
При температурах ниже дебаевской формула усложняется.
Заметим, однако, что при самых низких температурах величина
