Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
?7« = -^XmbC2 [ d4p' ьФь(я, PfbWWl (2.148) 6 J
VkUik = -4тг]Ге6 f ЛУ6ФЬ(^Р'6)4, (2.149)
6 J
где ? = g^ViVj — оператор Даламбера, Фb = Nb — nbfb .
Дальнейшие вычисления не носят ковариантного характера, однако они будут производиться с целью определения компонент тензоров (pkj , pij , ifij и pi в некоторой точке (q) в локально-лоренцевой системе координат. В этой системе координат интервал запишем в виде
ds2 = dr? - (dq1)2 - (dq2)2 - (dq3)2. (2.150)
В дальнейшем не представит труда записать окончательный результат в явно ковариантном виде. 2.2. Уравнения Эйнштейна—Максвелла
153
Решение уравнения (2.148) и выражения для hij и Щк{г], q) найдены в предыдущем параграфе (см. (2.34)—(2.38)).
Для нахождения дополнительных слагаемых в макроскопических уравнениях Максвелла нам понадобятся также выражения для следа h = д1^ hij и для V^ft:
Afo, q) = Y J d4p' J d3q' J d3k J" dr,'e-ik^-^x
X A<6>(4l./,^k)4b(i/,q,,p'). (2.151)
где
hW{4,tf,t/,k ) = (2.152)
VfcA(T7iq) = ^l d4p'J d3q' J d3k J"
X (V*A)<6)(V> ^,р'.^Фь^'.ч',!/), (2.153)
где
(V*A)W(V,i/,,/,k) = - A^e-^f'-')}. (2.154)
Решение уравнения (2.149) выражается через векторный потенциал Ai по формуле
Wik = діАк - дкАі.
Решение для векторного потенциала представим в форме [5]:
Аі(г,,Ч) = Y J J d3q' J d3k f <Ve-<k«l-<l'>x
X A^(T1tV1tp',к)ФьЫ,ч',р'), (2.155)
где
A^(г,, т,',p>, k) = J^_u{{e<fc<'»'-'i> (2.156)
Выражение для микроскопического электромагнитного поля ujij принимает в этом случае вид:
Uikiv, Ч) =Y J d4P'l d3l'J ^k J" ^/e-ik(q-q,)x 154
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
xu?W.j/.k^i/, q',p'), (2.157)
где
»WM,ЇМ =
- (krVfk - іfefcuOe-'*^'-")}. (2.158)
Подстановка (2.34), (2.37), (2.151), (2.153), (2.157) в формулы (2.139), (2.141), (2.142), (2.144)-(2.146) приводит к выражениям для р?,> Qkis' Лй в виДе (2-65), (2.66), (2.67), а для тензоров (HlnUikm), (uj,kVi,h), Л,- к выражениям вида:
(Atroh,*") = W dAP' f dY [ d3q' f d\" Г drj' Г dri"x
be J J J J J-OO J-OO
X J d3 k' j ?/3k//e-.k'(q-q')e-!k"(q-q")x X h«bHr,,r,\p\k')ukZ(V,V'\p'\k")nbncgbc(x',x"), (2.159)
(h.kJk) = f d*P' f d4P" f dV / A" f Г dri"x
j J J J J — OO J-OO
X I d3k' J tfe-ik'(q-qvk"(q-q")x
(2.160)
A1 =-YltKec J d*p' j dY J d3q'J" dif j Ae-^'^-^/x
X fcWfoqV,к^ПеЫ^ЪЪР")- (2.161)
При выводе этих соотношений мы воспользовались определением двухчастичной корреляционной функции, а также определениями одночастичной, двухчастичной, трехчастичной функций распределения, введенными в предыдущем параграфе. Использованы также формулы (1.226)—(1.228) для моментов случайных функций.
В выражениях (2.159)—(2.161) нештрихованные величины относятся к частицам сорта a, штрихованные величины—к частицам сорта b, дважды штрихованные величины—к частицам сорта с .
Для дальнейшего упрощения дополнительных слагаемых, появляющихся в макроскопических уравнениях Эйнштейна и Максвелла 2.2. Уравнения Эйнштейна—Максвелла
155
при учете взаимодействия частиц, нам необходимо знание двухчастичных корреляционных функций.
Для системы частиц, взаимодействующих только гравитационно, двухчастичная корреляционная функция была найдена в предыдущем параграфе, как попутный результат при выводе релятивистского кинетического уравнения для системы самогравитирующих частиц с точностью до членов второго порядка малости по взаимодействию. Для системы частиц, взаимодействующих только электромагнитным образом, двухчастичная функция распределения была найдена в первой главе монографии при выводе релятивистского кинетического уравнения для плазмы. В нашем случае необходимо знание корреляционной функции даъ(х,х') с учетом как электромагнитных так и гравитационных взаимодействий.
Уравнение на двухчастичную корреляционную функцию получается из уравнения Лиувилля (2.115) после умножения обеих частей этого уравнения на Фб(я') и усреднения по совокупности систем:
Здесь мы воспользовались (2.37), (2.157) и учли, что для наших целей (получения макроскопических уравнений с точностью до членов второго порядка малости по взаимодействию) при выводе (2.162) достаточно положить Qf-- ~ , ф1к ~ W1k .
Дальнейшее упрощение этого уравнения таково же, как аналогичных уравнений в предыдущих главах. Мы используем формулы (1.227), (1.228) и полагаем приближенно
Р^(Ма(х)Фь(х')) + TjiikpIpft -^(Na (х)Фь(х'))+
+т-^^(адФбОО) =
!"{El diPbf A"/d3 k fjv"exp[-ik(4-q')} X Г}", Pl Vp1pmAji - e-fJ[c) fo, п',р", к)р* Д„-] X
д_ дрі
і± Oq
X
(2.162)
fabc(x,x',x")~fa(x)fb(x'),fc(x"). 156
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
В результате для gab(x,xt) мы получаем уравнение
д д Р{щ-9аь(х,х') + Ti,jkp'pk—gab{x,x')+
+—Fjkpk ^-даь{х,х') = с Opj
= ^[Jd4PbJ A"/d3 к J* dt]" ехр[—ik(q — q")] х
X [^(TljT1",P1WP1PmAji - e-fU$(v, r,",p",k)pk] X
X fa(x)fb(x') J ds"S(x" - Xbt*"/*'))}. (2.163)
Это уравнение мы должны решать при Tijk = 0, fjk = 0 согласно нашему предположению о величинах усредненных полей внутри области корреляции.
