Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
ebec Vd
который в большинстве мыслимых ситуаций велик.
Следовательно эффекты взаимодействия в плазме сказываются намного сильнее, чем эффекты гравитационного взаимодействия в средах из электрически нейтральных частиц. Этот факт мы обязательно будем учитывать при построении космологических моделей.
Таким образом, есть реальная возможность проявления коллективных эффектов в макроскопической теории гравитации на ранних стадиях эволюции Вселенной.
Для оценки дополнительных членов в макроскопических уравнениях Эйнштейна на ранних стадиях эволюции Вселенной нам не обязательно их конкретное вычисление с учетом реального состава вещества во Вселенной на этих стадиях. Достаточно знания этих членов на сегодняшний момент и того факта, что на всех стадиях (в приближении локального термодинамического равновесия) макроскопические уравнения Эйнштейна отличаются от классических уравнений наличием в правой части дополнительного "тензора энергии— импульса" с отрицательной "плотностью энергии". Причем дивергенция от этого тензора равна нулю (вследствие (2.194)), также как и дивергенция от обычного тензора энергии—импульса вещества. Дополнительная отрицательная "плотность энергии" на современной стадии равна (2.203).
Переходим к построению изотропных однородных космологических моделей в макроскопической гравитации.
Но прежде отметим, что построением однородных и изотропных космологических моделей в рамках макроскопических уравнений Эйнштейна, впервые занялись М.Ф.Широков и И.З.Фишер [80]. 2.3. Космологические модели
173
Они впервые подняли вопрос о выводе макроскопических уравнений Эйнштейна. Им удалось провести процедуру усреднения уравнений Эйнштейна при условии, что усредненная метрика является метрикой Фридмана и в приближении системы состоящей из нерелятивистских слабовзаимодействующих гравитирующих частиц. Для дополнительных членов, появляющихся в левой части уравнений Эйнштейна, были сделаны качественные оценки, согласующиеся с выводами более строгой теории, изложенной выше. В результате, построенные ниже несингулярные космологические, при пренебрежении вкладом реликтового излучения в суммарную плотность вещества, совпадают с моделями [80].
Метрики изотропных и однородных космологических моделей запишем в виде:
(ds)2 = a2(т]) ((dT))2 - (dr)2 - <f>2(r)((d0)2 + sin2(0)(^)2)) . (2.205)
Здесь ф(г) = г , ф(г) = sin г, ф(г) = sinh г для плоской, закрытой и открытой моделей соответственно.
Система уравнений Эйнштейна для этих метрик сводится к системе двух уравнений (см. например [4]):
+ = (2.206)
de л da
— = —3 —. (2.207)
6 + P а
Здесь а! обозначает производную по временной переменной т] от масштабного фактора, е и P—плотность энергии и давление вещества, ? = 0,+1,-1 для плоской, закрытой и открытой моделей соответственно.
От (2.206)—(2.207) макроскопические уравнения Эйнштейна отличаются следующим. Во-первых, є в правой части (2.206) заменяется на разность обычной плотности энергии вещества е и "плотности энергии" 6i , обусловленной взаимодействием частиц среды.
На настоящий момент времени эволюции Вселенной для справедливо выражение (2.203).
Во-вторых, уравнение (2.207) заменяется на два аналогичных:
de da ,
= -3—, (2.208)
е + Р а 174
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
d€l = -3^. (2.209)
сі + Pi a
Здесь P—обычное давление вещества, Pi = ei/3—"давление", обусловленное взаимодействием частиц. Уравнения (2.208) и (2.209) следуют из равенств нулю дивергенции для обычного тензора энергии—импульса и дивергенции для дополнительного "тензора энергии—импульса", обусловленного взаимодействием.
Оценки, выполненные по формуле (2.203) показывают (см. ниже), что в настоящий момент времени для современной Вселенной величина 6i сравнима по порядку величины с плотностью энергии для реликтового излучения. Поэтому, если мы учитываем вклад в ?, то мы должны учесть также и вклад в с реликтового излучения. Поэтому в правой части (2.206) положим
б = ев-е. (2.210)
Здесь бв —плотность вещества без учета реликтового излучения, а под е будем понимать разность между "плотностью энергии" (2.203), обусловленной взаимодействием, и плотностью энергии Cr реликтового излучения. Это удобно ввиду того, что уравнения состояния для реликтового излучения и для дополнительного "тензора энергии— импульса" одинаковы: давление равно одной трети от плотности энергии. Вследствие этого уравнение (2.209) приводит к следующей зависимости е от масштабного фактора:
Здесь а і = const.
Для плотности энергии остального вещества из (2.208) имеем:
где ао = const..
Уравнение (2.206) с учетом (2.210), (2.211) и (2.212) приобретает вид:
a'2 + {a2 = 2a0a - Ci21 (2.213)
Решение этого уравнения для масштабного фактора a(rj) запишем в виде 2.3. Космологические модели
175
a = am + -a0Tj2 (2.214)
для плоской (^ = 0) модели (здесь ат = а?/2ао),
а = ат + (а0 - ат)(1 - cos 77) (2.215)
для закрытой (? = +1) модели (здесь ат = ао — \/(ао — af)), и
а = flm + («о + а ) (cosh Tj — 1) (2.216)
