Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
Макроскопические уравнения Эйнштейна для системы электромагнитно и гравитационно взаимодействующих частиц отличаются от классических уравнений Эйнштейна наличием в левой части дополнительных слагаемых, обусловленных взаимодействием. Эти слагаемые образуют симметричный двухвалентный бесследовый тензор с равной нулю дивергенцией. В явном виде эти слагаемые представляются в виде интегралов в импульсном пространстве от выражений, содержащих одночастичные функции распределения каждого из сортов частиц.
Данные дополнительные члены имеют много общего с аналогичными слагаемыми в левой части макроскопических уравнений Эйнштейна, полученных в предыдущей главе для системы самогравити-рующих частиц.
Макроскопические уравнения Максвелла для системы электромагнитно и гравитационно взаимодействующих частиц также оказались отличными от классических уравнений Максвелла. Это отличие проявилось в появлении в левой части уравнений Максвелла дополнительных членов, обусловленных одновременно как эффектами общей теории относительности, так и эффектами взаимодействия. 2.2. Уравнения Эйнштейна—Максвелла
145
2.2.1 Микроскопические уравнения
Мы стартуем из микроскопической системы уравнений Эйнштейна и Максвелла
Gij = *%+ (2Ш)
VfcFifc = --J1'. (2.101)
С
Здесь Gtj—тензор Эйнштейна риманова пространства с метрикой gij ; Tj^—микроскопический тензор энергии—импульса частиц среды , X = Sirkfc4—постоянная Эйнштейна, к—гравитационная постоянная Ньютона, с—скорость света, Ftk—тензор электромагнитного поля (тензор Максвелла), J1 —микроскопический 4-вектор тока, Tj^1J —тензор энергии—импульса электромагнитного поля. Операции поднимания и опускания индексов производятся здесь с помощью метрического тензора gij и обратного к нему дгJ . V* обозначает кова-риантную производную в римановом пространстве с метрикой gij .
Тензор Tj^1J выражается через Flk в виде
fH) = ^ [-FilFil + IsiiFimFlm) ¦ (2.102)
Тензоры Tjt^ и Jt выражаются через случайную функцию Кли-монтовича в виде
% = E^2I ^KKNAqi,Рг), (2.103)
Ji = ЕеьС/ 7??Ub(q,p). (2.104)
Здесь еа —заряд частиц сорта а, гпа —их масса, у —определитель метрики gij , W10 = Pa/уд к Jp1^pL , pj, - -импульс частиц сорта а,
dAp V4 146
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
—инвариантный элемент объема в четырехмерном импульсном пространстве с координатами pi , Na{q\pta)—случайная функция Кли-монтовича:
Na(q\Pj) = E /dsS^q' - q'^S^pj - if (5)). (2.105)
1 = 1 J
na—число частиц сорта a , s—канонический параметр вдоль траектории частиц: ds = \JQi3dq{dqi ; q^ и р^ —координаты и импульс /-й частицы сорта a, которые определяются из уравнений движения
Здесь Г^,-*—символы Кристоффеля 1-го рода, вычисленные по метрике gij. Вследствие (2.106) случайная функция (2.105) подчиняется уравнению
м dl^a , л еа ~ ^dNa
P W + Wl> Ж + = (I-M)
Представим метрику д^ гравитационного поля, создаваемого всеми частицами, в виде суммы усредненной метрики д^ и вклада hij , обусловленного микроскопическим взаимодействием частиц:
Qij=Qij+ hij, (2.108)
где gij = (gij)—усредненная по ансамблю метрика дц . Заметим, что (Ay) = O.'
Тензор электромагнитного ноля Fik также представим в виде суммы
Fik = Fik+ Uik, (2.109)
где Fik = (Рік)—усредненный по ансамблям тензор Максвелла, Uik—микроскопический тензор электромагнитного поля, обусловленный взаимодействием частиц. Заметим, что (u>ik) = 0.
Наряду с импульсами = macdq^/ds мы будем также использовать импульсы рг , измеренные в метрике gij :
р' = а-'^рЩц, a(q,p) = ds/d~s = (^pV )1/2(ЬрУ)" 1/2-
(2.110)
Здесь S—канонический параметр, вычисленный по метрике дК1. 2.2. Уравнения Эйнштейна—Максвелла
147
Перейдем от pi к pi по правилу
Pj = 9jkPk = OtgjkgkiPi. (2.111)
Якобиан преобразования (2.111), равен :
і Sr •=¦(2л12>
VPj Я
где д —определитель метрики дij . Введем в рассмотрение функцию NaPj) определенную в восьмимерном фазовом пространстве с координатами (<7,р):
Na(q,p) = ? / dsS4(q' - ?;0(5))<54(Pj-pf(s)). (2.113)
Z=I J
Функции q^j и p^P в (2.113) определяются из уравнений, получающихся из (2.106) заменой (2.111) (р% = g%ipj ).
Отметим, что функции Na и Na связаны следующим образом:
Na(q,p) = J^Na(qlP). (2.114)
да0
Уравнение на Na(g,p) получается из уравнения Лиувилля. (2.107) с помощью замены переменных (2.111) и (2.114):
Р W + IWp + -Fikv -= JL [(п#ДтіРУ - efi,lkAliPk) Na]. (2.115)
Здесь
Aki = gki - ukuг/1' = ОД = - Г™ (2.116)
VP1Pi
—разность символов Кристоффеля второго рода для метрик gij и 9ij у
'ф1-к = -^ihrA - F'k = ^rirZm(2Л17) 148
ГЛАВА 2. Макроскопические уравнения Эйнштейна
Переходя в (2.103) и (2.104) к импульсам pi и функции Na , получим
= °(q,p)xfi<viNa(q,Pa), (2.118)
-д) V 9
Ji = ?>с/ (2.119)
где dAp/y/^—инвариантный элемент объема в невозмущенном импульсном пространстве.
Для дальнейших целей уравнения Эйнштейна удобнее переписать в виде
RiJ + VmO* - VjQTm + ГСгГ^ - ^Wm =
= Л Yl Ш«с2 j ~ ^О'^т^ + X^//0.
