Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
и
Ш = Hl(S)e-P". (2.5.10)
Таким образом, полное решение для ф запишется в виде
и I и Je
где радиус пучка w в соответствии с (2.5.5) определяется выражением
<2.5.11,
а V к \ и2 J \ fr \ п0п2 При этом полное (комплексное) поле имеет вид
,2 , „2
ад(У2 ^ )Hm(Д ? ) ехр| - J еХр( _ i?l mZ).
(2.5.12) 52
Глава 1
Выражение для постоянной распространения ?^ ,„ моды (/, т) находим из (2.5.7) и (2.5.9):
?r.m = к
2 / п-, ,
I - TJ— (l+m + 1)
1/2
(2.5.13)
Следует отметить две особенности модовых решений:
1. В отличие ot решения для случая однородной среды (п 2 = 0) «радиус моды» W не зависит от г. Это можно объяснить фокусирующим действием распределения показателя преломления (п2 > > 0), которое противодействует естественной тенденции ограниченного пучка дифрагировать (уширяться). В случае когда показатель преломления возрастает с г (п2 < 0), из выражений (2.5.11) и (2.5.12) следует, что со2 < 0 и решений, отвечающих не-расходящемуся пучку, не существует. Профиль показателя преломления в этом случае приводит к дефокусировке, усиливающей дифракцию пучка.
2. Зависимость постоянной распространения ? от модовых индексов /, т означает, что различные моды имеют разные как фазо-вые (Vl, т = u/?l, т)> так и групповые скорости i(vg)f m = = du/d?/ ], которые зависят от I и т.
Рассмотрим модовую дисперсию (т. е. зависимость от / и т) групповой скорости моды I, т:
Если изменение показателя преломления мало, так что IJ^ (1 + т+ !)«!, (2.5.15)
то из (2.5.13) приближенно получаем rTh,. П,
и в соответствии с (2.5.14)
/ ч = dnO_
1 + / + т + 1)
Ik2
(2.5.16)
(2.5.17) Распространение лазерных пучков
53
Влияние дисперсии групповой скорости на распространение импульса мы рассмотрим в следующем разделе.
2.5.1. УШИРЕНИЕ ИМПУЛЬСА В СТЕКЛОВОЛОКНАХ
С КВАДРАТИЧНЫМ ПРОФИЛЕМ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
Стекловолокна с квадратичным профилем показателя преломления (2.5.1а) являются превосходными каналами для систем оптической связи [6, 7]. Поскольку информация кодируется последовательностью оптических импульсов, информационная пропускная способность канала ограничивается в основном числом импульсов, которое может быть передано в единицу времени [8, 9].
Существуют две причины, по которым дисперсия групповой скорости ограничивает частоту повторения импульсов в каналах с квадратичным профилем показателя преломления.
Модовдя дисперсия. Если оптические импульсы, падающие на входной конец волокна, возбуждают большое количество мод (как это имеет место в случае, когда возбуждающий пучок сильно сфокусирован и поэтому его «лучи» имеют большой угловой разброс), то каждая мода будет распространяться со своей групповой скоростью (Vg)^ т в соответствии с выражением (2.5.17). Если на вхо^е волокна возбуждены все моды от (0, 0) до (Imax, ттях), то импульс на выходе волокна при z = L будет уширяться на величину
Используя (2.5.17) и условие (n2/n0)(l + т + 1)2/2к2 < 1, получаем
Следовательно, максимальное число импульсов, которое может быть передано за секунду без существенного перекрытия между собой выходных импульсов, равно /тах ~ 1/Дг. Поэтому для достижения высокой скорости передачи информации возбуждение должно быть одномодовым. Этого можно добиться, используя когерентное возбуждение одномодовым лазером [7—9].
Числовой пример. Рассмотрим волокно длиной 1 км с квадратичным профилем показателя преломления, у которого п0 = 1,5, пг = = 5,1- IO3 см-2. Пусть оптический импульс излучения c X = 1 mkm
Дт = L
(2.5.18)
n„L П7 , . 2
Ат= Т7^(,»« + и»«+1) • с 2п„к
(2.5.19) 54
Глава 1
возбуждает все моды вплоть до Zmax = wmax = 30. Подстановка этих значений в (2.5.19) дает
Дт = 3,6 X IO'9 с,
и для скорости передачи информации имеем /шах ~ (Дт)-1 = = 2,8- IO8 импульсов в секунду.
Дисперсия групповой скорости. Как уже отмечалось выше, ушире-ние импульса (2.5.19), обусловленное многомодовым возбуждением, можно устранить при распространении одной моды, например моды /, т. Однако уширение импульса будет существовать и в этом случае из-за зависимости (Vg)l т от частоты. Это уширение можно объяснить тем, что оптический импульс имеет спектральную ширину Дсо, которая приводит к его расплыванию на расстоянии L на величину (см. задачу 1.9)
Если импульс испускается непрерывным когерентным источником с пренебрежимо малой шириной спектра, то спектральная ширина импульса связана с его длительностью т соотношением Дсо ~ 2/т и (2.5.20) принимает вид
Если ширина линии излучения источника Acos превышает т~1, то в выражении (2.5.20) следует заменить Дсо на Дсо4. Таким образом, уширение импульса обусловлено зависимостью групповой скорости от со, т. е. дисперсией групповой скорости.
Для проверки нашего полуинтуитивного вывода соотношения (2.5.21), а также в качестве иллюстрации математического аппарата, используемого при расчете дисперсии импульса, рассмотрим распространение оптического импульса с гауссовой огибающей в канале с дисперсией.
Пусть входной импульс имеет вид
