Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
На входе в линзу (плоскость 1) мы имеем ш = со,, R1 = оо, поэтому
-L = _L_ = ¦ *
Я\ ттш\п 1ти2п
Используя (2.3.17), можно написать следующие соотношения:
_L = J_ _ I = _ I _ __1_ -a + ib
Яг h f f lVa2in' ^ -1 /f - і(\/іш\п) а2 + Ъ2 '
- 1 А- Х
а = - Ь = —^-.
J TTCd1H
Затем, учитывая (2.2.4), в плоскости 3 имеем
, / ~а ib
^ = Яг + I = —-г? + -5--Z + I ,
а2 + b2 а2 + Ь2
± = ('^2Vb2 + ') ~ V + Ъ2
Яг R3 TTujn / а Л2 Ъ2
\ a2 + b2+ ' + (а2 + Ь2)2 46
Глава 1
РИС. 2.3. Фокусирование гауссова пучка.
Поскольку по условию задачи выходная плоскость 3 отвечает перетяжке выходного пучка, R3 = со. Учитывая это, из последнего выражения для координаты новой перетяжки получаем а _ / /
+ 1 + (xf/^nf " 1 + (//z1)2 ' (2-3-21)
а отношение радиусов выходного и входного пучков в плоскостях перетяжки дается выражением
ы, fX/4Tu2,n f/z,
— = - -!- . (2.3 22)
/і + (fX/iru\n)2 {l + (f/z,)2
Параметр конфокальности пучка
•nu.n
z1 s
Il W j
в соответствии с (2.2.11) равен расстоянию от перетяжки, на котором ширина входного пучка возрастает в V2 раза, и является удобной характеристикой сходимости входного пучка. Чем меньше Z1, тем сильнее сходимость пучка.
2.4. МОДЫ ГАУССОВА ПУЧКА ВЫСШЕГО ПОРЯДКА В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
Мы рассматривали до сих пор гауссов пучок, в котором распределение поля зависело лишь от продольного расстояния z и расстояния г от оси. Если мы не будем накладывать условия д/дф = О [ф — азимутальный угол в цилиндрической системе координат (г, Ф, Z)] и положим к2 - 0, то волновое уравнение (2.1.2) имеет решение вида [3] Распространение лазерных пучков
47
Е,,т(х, у, г) = E0-^
x
x
Xexp -
X2 + у2 ik(x2 + у2) u2(z) 2 R(z)
- ikz + i(l + т + 1)tj ,
(2.4.1)
где H1 — полиномы Эрмита порядка /, а величины to (г), R (г), g(z) и rj определяются выражениями (2.2.11)—(2.2.14).
Для дальнейшего рассмотрения необходимо заметить, что сдвиг фазы на оси дается выражением
Нетрудно видеть, что изменение электрического поля в поперечном направлении вдоль координаты х (или у) имеет вид 7/;(?)ехр (- ?2/2), где ? = V2x/to. Эта функция хорошо изучена, поскольку она отвечает также квантовомеханической волновой функции мД?) гармонического осциллятора [4]. На рис. 2.4 графически представлены некоторые такие функции низшего порядка, нормированные на полную энергию пучка.
2.5. МОДЫ ГАУССОВА ПУЧКА В СРЕДЕ С КВАДРАТИЧНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
В разд. 2.3 мы изучали распространение гауссова пучка с круговой симметрией в линзоподобной среде, находя решение для комплексного параметра пучка q в зависимости от z. Здесь мы воспользуемся модовым описанием и получим выражения для нормальных мод пучка, распространяющегося в среде, показатель преломления ко-
Tj = kz - (I + т + 1) arctg
(2.4.2)
Z
о ИоК)
----|«о(«|г
И.Ю
----М4)|2
-5
/ \°'5~
I Л\ 7 ¦ Л t < /л Ч Ч'\ і V
Jj \\1-I l>L/ VK^i і
4 5
"iK)
РИС. 2.4. Функции Гаусса — Эрмита U1(Z) = (тг1/2/!2'Г I/2#,(?)e~?2/2, отвечающие
высшего порядка (2.4.1). Кривые нормированы таким образом, чтобы пол-
_______________. _ . ___________Гоо Jmj. . „
пучкам
ная энергия во всех модах пучка была постоянной: (Z)dl; = 1. Сплошные кри
вые — функции U21(Z) для / = 0, 1, 2, 3 и 10. Штриховые кривые — функции \u?)\2 Распространение лазерных пучков
49
РИС. 2.4. (Продолжение.)
торой изменяется по закону
п2{г) = и2(і - ^r2J, г1 = X2+у1, (2.5.1а)
который совпадает с выражением (2.1.4), если в нем положить
кг = Iirn2ZX.
В этом случае скалярное волновое уравнение (2.1.2) принимает
4-631 50
Глава 2
вид
V2 + - ^r2Jis=O, (2.5.16)
где
Е(х, У, z) = y)&p(-i?z).
Записывая ф(х,у) = f(x)g(y) и подставляя это выражение в волновое уравнение (2.5.16), получаем
7-4 + + k2-k2^(x2+y2)-?2 = 0. (2 5 2)
/ Bx2 ё ду2 в/ у>
Поскольку уравнение (2.5.2) представляет собой сумму двух частей, одна из которых зависит только от у, а другая — только отх, мы можем написать следующие уравнения:
704*1-'1-^")-*-
1 d2s ,«і -,
f - к2—у2 = - С, (2.5.4)
8 dy "о
где С — некоторая постоянная. Рассмотрим сначала уравнение (2.5.4). Вводя новую переменную определяемую выражением
( = ау, (2.5.5)
уравнение (2.5.4) нетрудно привести к виду
4 + /с
di2 \ а
2+ — -^2U = O. (2.5.6)
Это хорошо известное дифференциальное уравнение, аналогичное уравнению Шредингера для гармонического осциллятора [5]. Соб- Распространение лазерных пучков
51
ственное значение С/а1 должно удовлетворять условию
— =(2т+\), т = 1,2,3,... . „5Л)
а \
Решение, отвечающее данному целому числу т, имеет вид
UO = Ят(€)г-«Ч ?.5.8)
где Hm — полином Эрмита порядка т.
Проделаем теперь аналогичную процедуру с уравнением (2.5.3). Подставляя в него переменную
? = ах
получаем
l2f , I к2 - ?1 - С dl2 [
Гак
к2 - R2 - С
--— = (21 + 1), /=1,2,3,... (2.5.9)
Так же, как и в случае уравнения (2.5.7), имеем Л _ д>2
