Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
2пт d г
К "lis = V<S>> (2.3.11)
которое определяет траекторию луча посредством эйконала Ф(г). И наоборот, эйконал ф(т) можно выразить через лучевой интеграл
ф(г) = ^-Jnds,
в котором интегрирование ведется вдоль траектории луча. Из (2.3.10) и (2.3.11) можно получить дифференциальное уравнение, которое описывает распространение лучей непосредственно через показатель преломления п (г):
dl dr\
<2-ЗЛ2>
Для параксиальных лучей (т. е. для лучей, составляющих очень малые углы с осью Z) можно заменить d/ds на d/dz. В случае линзо-подобной среды, описываемой выражением (2.1.4), уравнение для 42
Глава 1
лучей принимает вид d2r к2
Is+Tr = 0- (2-злз>
Следует заметить, что это уравнение аналогично (2.3.3). Это означает, что в линзоподобной среде в параксиальном приближении пространственная эволюция комплексного параметра пучка q и параметра луча г {firZdzYx происходит одинаково. Иными словами, для преобразования комплексного параметра пучка q можно применять тот же закон, что и при преобразовании параметра луча. Если луч в любой плоскости Z представить в виде вектора
dr_ dz '
то из уравнения (2.3.13) для линзоподобной среды можно получить лучевую матрицу, такую, что выполняется следующее преобразование:
(''Wc Dir),' (2-3.14)
где г' = drZdz, а индексы 1 и 2 относятся к плоскостям Z1 и Z2 соответственно. В таблице 2.1 приведены лучевые матрицы для некоторых оптических элементов и сред. Заметим, что уравнение (2.3.14) можно также записать в виде
(r/r') - A(r/r')t + В о,,м
2.3.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ; ЗАКОН ABCD
В предыдущем разделе мы получили законы преобразования гауссова пучка (2.3.5) и луча (2.3.15) при их распространении в линзоподобной среде, характеризуемой постоянной к2. Было также показано, что параметр пучка q и параметр луча г Zr' подчиняются одинаковым законам преобразования. Иными словами, преобразование комплексного параметра пучка q можно записать в виде
Aql + В
42 ~ Cj~TD' (2-3.16) ТАБЛИЦА 2.1. Матрицы преобразования лучей для некоторых часто встречающихся оптических элементов и сред
1. Участок однородной среды длиной d
2. Тонкая линза с фокусным расстоянием / (при /> 0 собирающая, при / < 0 рассеивающая)
3. Граница раздела диэлектриков с показателями преломления я J и «2
4. Сферическая граница раздела диэлектриков радиусом R
5. Сферическое зеркало радиусом R
6. Среда с квадратичным профилем показателя преломления
Вход
Вход
Выход
Выход
Вход
"і M2
Выход
[J fl
1
-1 /
О
Il «2
Выход
I
"2 - "1 n-,R
1
-2 R
О
Hl
и,
4і Sin \ I 44
Глава 1
где А, В, С, D — элементы лучевой матрицы, связывающей луч в плоскости z = Z2 с лучом в плоскости Z = Z1 [выражение (2.3.14)]. Поскольку оптические элементы в табл. 2.1 можно рассматривать как частные случаи линзоподобной среды, распространение излучения через эти элементы или отражение излучения от них также подчиняется закону (2.3.16). Для дальнейшего рассмотрения полезно заметить, что для тонкой линзы с фокусным расстоянием / из соотношения (2.3.16) и табл. 2.1 (п. 2) получаем
1 1 1
— =--7 > (2.3.17)
Яг Я\ f '
откуда для пучка мы имеем
w2 = w,,
I J j (2.3.18)
~R2=Tx~~f<
где w1 и w2 — радиусы пучка соответственно на входе и выходе линзы, a R1 ViR2— соответствующие радиусы кривизны. Эти соотношения применимы также для описания отражения от зеркал с радиусом кривизны R, если заменить в них / на R/2.
Рассмотрим теперь распространение гауссова пучка через две линзоподобные среды, примыкающие друг к другу. Пусть первая среда описывается матрицей с элементами A,, Bv C1, D1, а вторая среда — матрицей с элементами A2, B2, C2, D2. Обозначая входной параметр пучка через qx, а выходной через <73, из (2.3.16) получаем следующее выражение для параметра пучка на выходе из среды 1 (плоскость 1):
.. Mx + B1 42 Ci4l+ Di '
а на выходе из среды 2 (плоскость 3) имеем
_ Л2д2 + B2 Ъ С2д2 + D2 ¦
Сравнение последних двух выражений дает ATq, + Bt
«» = CTql + DT> <2-3-19)
где Ат, Bt, Ct, Dt — элементы лучевой матрицы, связывающей выходную плоскость 3 с входной плоскостью 1. Таким образом, Распространение лазерных пучков
45
(с; ZHt 5)(5 S)-
По индукции нетрудно показать, что выражение (2.3.19) можно применять для описания распространения гауссова пучка через произвольное число линзоподобных сред и элементов. При этом матрица из элементов А т, Вт, Ct, Dt является упорядоченным произведением матриц, характеризующих отдельные звенья такой цепочки.
Важное значение закона ABCD состоит в том, что он позволяет рассчитать изменение параметра q (z) гауссова пучка при его распространении через сложную последовательность линзоподобных элементов. Радиус пучка R (z) и его ширина ш (z) в любой плоскости Z могут быть восстановлены с помощью соотношения (2.3.7). Для того чтобы понять, как можно использовать этот метод, рассмотрим следующий пример.
2.3.3. ПРИМЕР; ФОКУСИРОВКА ГАУССОВА ПУЧКА
В качестве иллюстрации применения закона ABCD рассмотрим случай гауссова пучка, который в плоскости его перетяжки падает на тонкую линзу с фокусным расстоянием / (рис. 2.3). Задача состоит в том, чтобы найти положение плоскости перетяжки и радиус выходного пучка в этой плоскости.
