Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
J=-f/U. (5.255)
Реально в соединениях переходных металлов основную роль играет обменное взаимодействие примерно аналогичного типа, обусловленное возбужденными состояниями анионов разделяющих ионы переходных элементов (косвенней обмен Крамерса - Андерсона). Результирующий обменный интеграл может быть как положительным (как (5.250)), так и отрицательным (как (5.255)).
Обычно считается, что обменный интеграл между d (/)-электронами на разных узлах не зависит от того, в каких орбитальных состояниях они на-
i \ i -h+ * *
a) S)
Puc. 5.13. Косвенный обмен: понижение энергии за счет виртуальных переходов при ан-тиферромагнитном упорядочении спинов (а), по сравнению с ферромагнитным состоянием (б).
Рис. 5.14. Коллинеарная антиферромагнитная структура в плоском аналоге ОЦК решетки .
324
ходятся. Тогда в (5.254) можно просуммировать по всем электронам на каждом узле и опустив энергию внутриузельного обмена, получить
* = -р»Ц, (5.256)
' Л
где сумма берется уже по узлам, a S, - полный спин d (/)-слоя. Модель, описываемую гамильтонианом (5.256), называют моделью Гайзенберга. Мы будем использовать еще одно часто применяемое упрощение - приближение ближайших соседей:
[ J, если /, / - ближайшие соседи,
Jii = | (5.257)
I 0, во всех других случаях.
Если./>0 в модели (5.256), энергетически наиболее выгодно параллельное упорядочение всех спинов (ферромагнетизм). При J <0, если решетку можно разбить на две подрешетки А и В, так что для любого атома из А все ближайшие соседи будут из В и наоборот, энергетически выгодно, чтобы спины в А были параллельны друг другу и антипараллельны спинам из В (рис. 5.14). Такое упорядочение называют антиферромагнитным (точнее -коллинеарной антиферромагнитной структурой). Если атомы в А и в В — разные, суммарный магнитный момент при таком упорядочении может быть не равен нулю. Тогда говорят о ферримагнетизме. Решетки, допускающие указанное выше разбиение на две подрешетки, называются альтернирующими. Так, простая и объемноцентрированная кубические решетки альтернирующие, а ГЦК решетка - нет (существен тип подрешетки, образованный атомами переходного элемента).
Следует, однако, иметь в виду, что спин подрешетки IS,, как можно
i В А
проверить, не коммутирует с гамильтонианом (5.256), поэтому состояние, изображенное на рис. 5.14, не может быть в квантовом случае основным (и вообще не есть собственное состояние га/гольтониана). Ф. Андерсон (1951) доказал, однако, что среднее значение пмильтониана в этом состоянии отличается от энергии основного состояния на величину, малую по параметру (zST1 (z - число ближайших соседей, S - величина спина на узле) 1. В одномерном случае, однако, квантовые эффекты настолько существенны, что основное состояние вообще неантиферромагнитно(Л. Хюльтен, 1936)2.
Ниже мы ограничимся рассмотрением только ферромагнитного случая (J> 0). Начнем анализ гамильтониана (5.256) с приближения молекулярного поля (введенного П. Вейссом еще задолго до создания квантовой механики). При этом мы заменим энергию взаимодействия двух спинов энергией их взаимодействия с самосогласованным полем, определяемым их средними значениями:
2Щ - S, <S> + S, (S). (5.258)
Тогда
JC= - 2zJ<S)2S,-. (5.259)
/
1 См. Вонсовский С.В. Магнетизм. - М.: Наука, 1971, с. 680.
1 См. Маттис Д. Теория магнетизма: Пер. с англ./Под ред. И.М. Лифшица и М.И. Ка-
ганова. - М.: Мир, 1967.
325
Задача о вычислении статистической суммы Z гамильтониана Гайзенберга свелась к вычислению статистической суммы спина во внешнем поле:
Z = Sp ехр( - Х/къ Т) = Z? , (5.260)
гДе Л +s
Zx = Sp ехр( - xS/S) = 2 ехр( - xM/S) =
м= -s
= [ехр( — х) - ехр [jc(5 + 1 )/5] ] [1 - ехр(х/5)]-1 =
= sh((25 + \)x/2S)(shx/2SJl. (5.261)
Мы обозначили здесь
дг = (2JzS/kB T)(S) = nx (5.262)
(л— единичный вектор в направлении вектора <5 )) и воспользовались формулой для суммы членов геометрической прогрессии. Среднее значение < S > определяется из (5.261): ^
<S) = Z_1 SpSexp(-xS/S) =-nS — ---- =
Z 3jc
a inz
= - nS ------ =nSBs(x), (5.263)
3jc
где
Bs(x)= [(25+l)/25] cth [(25+ 1)jc/25] - (1/25) cth(x/25) (5.264)
называется функцией Бриллюэна. Ее график для разных 5 изображены на рис. 5.15. С учетом (5.262), (5.264) можно получить уравнение для х:
