Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
+ 6ik(Sf - Sf) | 0 >] = 2S 2' /„-(Sf - Sf) | 0 > (5.282)
i
(Jjj = Jji). Тогда уравнение Шредингера для функции фпримет вид
ih — = Еф= 2S 2' с(/) /„(Sf - Sf) | 0 > =
Э t ij
= 2S 2' Jtj(c(i) - c(j)) Sf | 0 >. (5.283)
if
328
(5.283) тождественно удовлетворяется, если
Ec(i) = 25 2/,v [с(0 - с(/)] . (5.284)
/
Так как У,у зависит лишь от Л, — Rj, как обычно, ищем решение в виде бегущей волны
?¦(/) = ехрО'ЛЛ,). (5.285)
При этом
Е(к) =25 2 У,у [1 - ехр(ik(Rt - Л/))]. (5.286)
/
В приближении ближайших соседей (5.257)
?’(Л) = 2/5 2 [1 - ехр((А:Лй)], (5.287)
6
где /{g — векторы ближайших соседей. При малых к в изотропном случае
2 2(1 -ехр(|*Л6))*2 №)2 ,
й В
2 (ЛЛЙ)2 = '/з zk2d2
&
E(k)^Dk2d2 ,D= 1l3zJS*kBTc/2(S+ 1). (5.288)
D называется константой жесткости спиновых волн. Обращение Е(к) в нуль при к -* 0 является следствием симметрии модели (см. соответствующие замечания об акустических ветвях колебаний в 2.23) .Действительно, для поворота всех спинов на один и тот же угол не нужно затрачивать энергию, поэтому для поворота спинов на узлах на сколь угодно мало отличающиеся углы (к -*¦ 0, когда с (i ) -*¦ const) нужно затратить сколь угодно малую энергию.
Во внешнем магнитном поле или при учете слабого спин-орбитального взаимодействия, выделяющих энергетически наиболее выгодные направления спина относительно кристаллографических осей (магнитная анизотропия), симметрия нарушается и в спектре спиновых' волн появляется щель. Обычно она мала по сравнению с кБ Т, и мы не будем ее учитывать.
При низких температурах (Т < Тс)спиновых волн мало, ли в правой части (5.275) можно положить 5,z ~ 5. Тогда (2 5)“1 ^2 5,-+,(25)1 S[ удовлетворяют бозевским перестановочным соотношениям (как для фононов),и, согласно (5.277), спиновые волны порождаются почти бозевскими операторами. Тогда при низких температурах их функция распределения определяется формулой Планка (см. (2.55) и (2.159))
Nk = [ехр(Ек/кБТ)~ I]'1 . (5.289)
Полное число спиновых волн определяет отклонение величины намагниченности от ее значения при Т=0 К (насыщения):
<5z)/5 — 1 = — (NS)~l 2 Nk =-(d3l8rr3S)! dkNk. (5.290)
к
При низких температурах (D > кБТ) существенны малые к, и мы можем
329
пользоваться формулой (5.288), а интегрирование распространить на все к. Тогда
+ оо
d3 fdkNk = 41 J (kd)2 d(kd) [exp(Dk2d2 / kbT) I]'1 =
0 + oo
= 4ir(kBT/D)312 f dxx2(expx2 - I)'1 . (5.291)
0
Входящий в (5.291) интеграл равен
+ oo + oo
/ dxx2(e\px2 l)"1 ~Vif dvyl/2(cy - 1)_1 =
о о
4-00 4-00
= !4 2 / dyv',2eny =
П- 1 0
='Л f dyy42e~y 2 n3!1 = (\/~ff/4) f(3/2).
о n= I
где f(x) — f-функция Римана. С учетом (5.291) и (5.290) получаем
(Sz)/S - 1 = - С(Т/Тс)312, (5.292)
где С — числовой множитель, зависящий от S. Эта формула впервые была получена Ф. Блохом (1930), и она довольно хорошо подтверждается экспериментально для многих ферромагнетиков. Приближение самосогласованного поля, как видно из решения уравнения (5.265), дало бы экспоненциально малое значение для величины (5.292) при Т -* О К, что противоречит опыту.
5.6.3. d-металлы
Выше уже говорилось, что электроны в J-металлах занимают в некотором смысле промежуточное положение между локализованными J-электронами в магнитных изоляторах и обычными коллективизированными электронами. В целом вопрос о природе J-состояний решается скорее в пользу зонной модели1. На существование J-полосы в J-металлах указывают, во-первых, прямые данные рентгеновской, электронной и оптической спектроскопии, дающие непосредственную информацию о структуре энергетического спектра. Во-вторых, для J-металлов характерны большие значения линейного члена в теплоемкости, которые можно объяснить, только учитывая большую плотность состояний J-электронов: тем самым приходится считать, что последние образуют ферми-газ (или, так же, ферми-жидкость), так как теплоемкость локализованной подсистемы не пропорциональна первой степени температуры (а пропорциональна числу спиновых волн, т.е. Т3'2). В-третьих, прямое исследование поверхности Ферми J-металлов с помощью эффекта де Гааза — ван Альфена и других методов указывает на их очень сложную структуру, которую очень трудно понять без учета коллективизации J-состояний.
