Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
* Это направление исследований начали Калуца [14, с. 529] и, по-видимому, независимо Мандель [185], развивали его де Бройль [186], Клейн [187], Эйнштейн {18], Бергман [2], В. А. Фок ?1881 Ю. Б. Румер [;і89];, Шмутцер [190] и многие другие [191—198].
213: успех в формальном совмещении известных теорий в рамках одной схемы, однако теория не вскрыла глубоких корней этих результатов, не привела к открытию новых закономерностей и предсказанию новых эффектов, которые можно было бы обнаружить с помощью современных экспериментальных средств. Попутно были получены другие интересные результаты, например с ее помощью впервые было введено уравнение Клейна — Фока, сформулирована скалярно-тензорная теория гравитации и т. д.
Другим важным следствием этого направления является развитие в его рамках элементов монадного метода. Впервые его применяли для выделения пятой координаты. Однако в работах 20—40-х годов не были окончательно определены операторы дифференцирования спроектированных тензоров, не были достаточно проанализированы уравнения геодезических в монадном методе. Опираясь на завершенный монадный метод в 4-мерном пространстве-времени, не сложно восполнить эти пробелы. Все получающиеся формулы, кроме уравнений геодезических, аналогичны формулам гл. 3. Наибольший интерес представляет калибровка 5-мерной монады, аналогичная хронометрической (когда поле монады выбрано вдоль конгруэнции линий пятой координаты). Эта калибровка использовалась в старых работах по 5-мерию и создала предпосылки для возникновения метода хронометрических, инвариантов. В данной главе систематически развит вариант 5-мерной теории без использования общековариантного монадного метода, на основе именно указанной калибровки монады. Назовем эту теорию калибровонно-инвариантной (кл. и.) [193, 194].
Независимо от попыток построения единой теории гравитации и электромагнетизма излагаемая здесь теория представляет интерес и по следующим соображениям. Известно, что наличие электромагнитного поля (F1Liv=T^O) можно понимать, как неголоном-ность 4-мерного пространства-времени для электрически заряженных частиц*. Однако неголономность 4-мерного пространства-времени можно понимать и описывать различным образом, в том числе и с помощью формального введения пятой координаты. Тогда неголономность 4-мерного пространственно-временного сечения имеет тот же смысл, что и неголономность 3-мерного пространственного сечения в хронометрической калибровке монадного формализма, характеризуемая тензором угловой скорости вращения Ащф0. Теперь вместо Am выступает тензор напряженности электромагнитного поля Fllv.
Приступая к изложению математического аппарата кл. и. 5-мерной теории, заметим, что на первый взгляд возможны две сигнатуры 5-мерного риманова пространства (х°, х\ X21 X3y хъ) :
(-І-----!-) и (Н-----)• В § 11.2 будем строить теорию
сразу для обеих сигнатур. Во всех формулах верхний знак будет соответствовать первой сигнатуре, а нижний — второй. В § 11.3,
* Это отмечал, например, Мандельстам ?28],, развивший для реализации этой идеи путезависнмую формулировку электродинамики.
214: сопоставляя полученную теорию с ОТО и электродинамикой, убедимся, что следует остановиться на сигнатуре (-1-----). Это
показал еще Эйнштейн [18, с. 197].
11.2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КАЛИБРОВОЧНО-ИНВАРИАНТНОЙ 5-МЕРНОЙ ТЕОРИИ
Целесообразно опять представить теорию в виде четырех составных частей.
Алгебра. Запишем 5-мерный метрический тензор Gab в виде
GAB = ±^A^B + gABy (11.1)
где %а — монада (5-вектор);gAB — метрический тензор пространст-венно-временного сечения, ортогонального линиям к. Здесь и в дальнейшем заглавные латинские индексы пробегают значения: О, 1,2, 3, 5. Для составляющих метрического тензора справедливы соотношения:
XaXbGab =± 1; XAgAB = 0; ІлвІ^=4- (11.2)
Произвольному 5-тензору В%\ V. можно сопоставить скаляр и совокупность пространственно-временных 4-тензоров равного и меньших рангов проектированием его посредством Xb и gB:
?rf. . . Л л D . ЪА • • rf • • • Za Zd
= Dd.., Kc . . Л . . ., JDb. . . = t>D. .. gc . . .gB . . .
Откалибруем монаду Xa следующим образом:
Xb - Gf/VTGT5 Ьв = GB5/V±A* (11.3)
и введем обозначения: ± G55 = ф2; Gsm, = <pV- Тогда составляющие метрического тензора будут иметь вид:
X5 = 1/ф; А* - 0; X5 = ± Ф; A11 = G6|i/q>;
&HV = + V^ g5B Л 1 4)
= ф4-^1)/ф2; g511 = g5*1;
gl = Gl> g»= + v<p; gb = о.
В данной калибровке выделяется множество систем координат, связанных преобразованиями
*/6 = */6(*°f X19 х\ X31 X5); (11.5)
X,]l = X^ {х\ X11 X21 X3). (11.6)
Назовем кл. и. 4-тензорами величины, инвариантные при преобразованиях (11.5) и 4-мерно-ковариантные относительно преобразований (11.6). Преобразования (11.5), как будет показано в § 11.3, обобщают калибровочные электромагнитные преобразова-
215: ния. Физически значимыми в дальнейшем будем считать только кл. и. (в указанном общем или частных смыслах) 4-тензоры. Таковыми будут спроектированные на пространство-время тензорные величины с индексами 0, 1, 2, 3, т. е. выражения:
